Призма (геометрия) (Hjn[bg (iykbymjnx))
Множество однородных призм | ||
---|---|---|
| ||
Тип | Однородный многогранник | |
Свойства |
вершинно транзитивный выпуклый многогранник |
|
Комбинаторика | ||
Элементы |
|
|
Грани |
Всего - 2+n 2{n} n {4} |
|
Конфигурация вершины | 4.4.n | |
Двойственный многогранник | Бипирамида | |
Классификация | ||
Символ Шлефли | {n}×{} or t{2, n} | |
Диаграмма Дынкина | ||
Группа симметрии | Dnh[англ.], [n,2], (*n22), порядок 4n | |
Медиафайлы на Викискладе |
При́зма (-угольная) (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками (-угольниками), лежащими в параллельных плоскостях, а остальные граней — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.
Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.
Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).
Элементы призмы
[править | править код]Название | Определение | Обозначения на чертеже | Чертеж |
Основания | Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. | , | |
Боковые грани | Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. | , , , , | |
Боковая поверхность | Объединение боковых граней. | ||
Полная поверхность | Объединение оснований и боковой поверхности. | ||
Боковые рёбра | Общие стороны боковых граней. | , , , , | |
Высота | Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям. | ||
Диагональ | Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. | ||
Диагональная плоскость | Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. | ||
Диагональное сечение | Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. | ||
Перпендикулярное (ортогональное) сечение | Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру. |
Свойства призмы
[править | править код]- Основания призмы являются равными многоугольниками.
- Боковые грани призмы являются параллелограммами.
- Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
- Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
- Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
- (здесь s — длина стороны многоугольника).
- Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
- Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где — периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра.
- Площадь боковой поверхности прямой призмы , где — периметр основания призмы, — высота призмы.
- Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным -угольным основанием равна
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
- Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
- Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.
Виды призм
[править | править код]- Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1].
- Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
- Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
- Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).
Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.
Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью[2]. Усечённая призма сама призмой не является.
Диаграммы Шлегеля
[править | править код]Треугольная призма |
4-угольная призма |
5-угольная призма |
6-угольная призма |
7-угольная призма |
8-угольная призма |
Симметрия
[править | править код]Группой симметрии прямой -угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh[англ.] порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений[англ.] является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O[англ.] порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.
Обобщения
[править | править код]Призматические многогранники
[править | править код]Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. -мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.
Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.
Возьмём -мерный многогранник с элементами (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический ()-мерный многогранник будет иметь элементов размерности i (при , ).
По размерностям:
- Берём многоугольник с вершинами и сторонами. Получим призму с 2 вершинами, 3 рёбрами и гранями.
- Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами, рёбрами, гранями и ячейками.
- Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами, рёбрами, (2-мерными) гранями, ячейками и гиперячейками.
Однородные призматические многогранники
[править | править код]Правильный -многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, ..., t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, ..., t}×{}.
По размерностям:
- Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
- Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
- многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
- Пример: Пятиугольная призма, {5}×{}, два параллельных пятиугольника связаны пятью прямоугольными сторонами.
- 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p, q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p, q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Пример: додекаэдральная призма[англ.], {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра, соединённых 12 пятиугольными призмами (сторонами).
- …
Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.
Многоугольник | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Мозаика | ||||||||||||
Конфигурация | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | 17.4.4 | ∞.4.4 |
Скрученная призма и антипризма
[править | править код]Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол радиан ( градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми[3][4].
Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.
Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.
Треугольная | Четырёхугольные | 12-угольная | |
---|---|---|---|
Многогранник Шёнхардта |
Скрученная квадратная антипризма |
Квадратная антипризма |
Скрученная двенадцатиугольная антипризма |
Связанные многогранники и мозаики
[править | править код]Многоугольник | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Мозаика | ||||||||||||
Конфигурация | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | 17.4.4 | ∞.4.4 |
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|
Название | {2} || t{2} | {3} || t{3} | {4} || t{4} | {5} || t{5} | {6} || t{6} |
Купол | Диагональный купол |
Трёхскатный купол |
Четырёхскатный купол |
Пятискатный купол |
Шестискатный купол (плоский) |
Связанные однородные многогранники |
Треугольная призма |
Кубооктаэдр |
Ромбокубо- октаэдр |
Ромбоикосо- додекаэдр |
Ромботри- шестиугольная мозаика[англ.] |
Симметрии
[править | править код]Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3].
Варианты симметрии *n32 усечённых мозаик: 3.2n.2n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия *n32 [n,3] |
Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболич. | Параком- пактная |
Некомпактная гиперболич. | ||||||
*232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
[12i,3] | [9i,3] | [6i,3] | |
Усечённые фигуры |
|||||||||||
Конфигурация | 3.4.4 | 3.6.6 | 3.8.8 | 3.10.10 | 3.12.12[англ.] | 3.14.14[англ.] | 3.16.16[англ.] | 3.∞.∞[англ.] | 3.24i.24i | 3.18i.18i | 3.12i.12i |
Разделённые фигуры |
|||||||||||
Конфигурация | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12[англ.] | V3.14.14[англ.] | V3.16.16 | V3.∞.∞ |
Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию[англ.].
Варианты симметрии *n42 расширенных мозаик: 3.4.n.4 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия *n32 [n,3] |
Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболическая |
Паракомпактная | ||||
*232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] | |
Фигура | ||||||||
Конфигурация | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4[англ.] | 3.4.7.4[англ.] | 3.4.8.4[англ.] | 3.4.∞.4[англ.] |
Соединение многогранников
[править | править код]Существует 4 однородных соединения треугольных призм:
- Соединение четырёх треугольных призм[англ.], соединение восьми треугольных призм[англ.], соединение десяти треугольных призм[англ.], соединение двенадцати треугольных призм[англ.].
Соты
[править | править код]Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:
- гироудлинённые альтернированные кубические соты[англ.],
- удлинённые альтернированные кубические соты[англ.],
- повёрнутые треугольные призматические соты,
- плосконосые квадратные призматические соты[англ.],
- треугольные призматические соты,
- треугольно-шестиугольные призматические соты,
- усечённые шестиугольные призматические соты,
- ромботришестиугольные призматические соты,
- плосконосые шестиугольные призматические соты,
- удлинённые треугольные призматические соты.
Связанные многогранники
[править | править код]Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников[англ.]. Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[англ.] идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121.
k21[англ.] в пространстве размерности n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Пространство | Конечное | Евклидово | Гиперболическое | ||||||||
En[англ.] | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Коксетера |
E₃=A₂A₁ | E₄=A₄ | E₅=D₅ | E₆ | E₇[англ.] | E₈ | E₉ = Ẽ₈ = E₈+ | E₁₀ = T₈ = E₈++ | |||
Диаграмма Коксетера |
|||||||||||
Симметрия[англ.] | [3−1,2,1] | [30,2,1] | [31,2,1] | [32,2,1] | [33,2,1] | [34,2,1] | [35,2,1] | [36,2,1] | |||
Порядок | 12 | 120 | 192 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
Граф | - | - | |||||||||
Обозначение | −121 | 021 | 121 | 221[англ.] | 321[англ.] | 421[англ.] | 521[англ.] | 621[англ.] |
Четырёхмерное пространство
[править | править код]Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников[англ.], включая:
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Kern, Bland, 1938, с. 28.
- ↑ Усечённая призма // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ Gorini, 2003, с. 172.
- ↑ Рисунки скрученных призм . Дата обращения: 28 января 2019. Архивировано 29 января 2019 года.
Литература
[править | править код]- William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
- Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
- Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Prism (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
- Nonconvex Prisms and Antiprisms (недоступная ссылка с 12-03-2018 [2443 дня])
- Surface Area MATHguide
- Volume MATHguide
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки призм и антипризм
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки, созданные системой Stella[англ.].
- Stella: Polyhedron Navigator: Программы для создания 3D- и 4D-изображений, приведённых на этой странице.
Для улучшения этой статьи желательно:
|