Усечённый кубооктаэдр (Rvyc~uudw trQkktmgz;j)
Усечённый кубооктаэдр | |
---|---|
![]() | |
![]() | |
Тип | Полуправильный многогранник |
Грань | квадрат, шестиугольник, восьмиугольник |
Граней | |
Рёбер | |
Вершин | |
Граней при вершине | |
Телесный угол |
4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44’08" |
Точечная группа симметрии |
Октаэдрическая, [4,3]+, (432), порядок 24 |
Двойственный многогранник |
Гекзакисоктаэдр![]() |
Развёртка | ![]() |
![]() С раскраской граней |
![]()
|
Усечённый кубооктаэдр[1][2], усечённый кубоктаэдр[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром.
Другие названия
[править | править код]Этот многогранник имеет несколько названий:
- Усечённый кубооктаэдр (Иоганн Кеплер)
- Ромбоусечённый кубооктаэдр (Магнус Веннинджер[4][5])
- Большой ромбокубооктаэдр (Роберт Вильямс[англ.] [6])
- Большой ромбокубооктаэдр (Питер Кромвель [7])
- Общеусечённый куб (omnitruncated cube) или скос-усечённый куб (cantitruncated cube) (Норман Джонсон[англ.])
Название усечённый кубооктаэдр, данное первоначально Иоганном Кеплером, несколько вводит в заблуждение. Усечение кубооктаэдра путём отсечения углов (вершин) не позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут прямоугольниками. Однако полученная фигура топологически эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.
Альтернативное название — большой ромбокубооктадр — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбододекаэдра, который двойственен кубооктаэдру. Ср. малый ромбокубооктаэдр.
Также существует невыпуклый однородный многогранник[англ.] с тем же именем — невыпуклый большой ромбокубооктаэдр[англ.].
Декартовы координаты
[править | править код]Декартовы координаты вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются перестановками чисел:
- (±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))
Площадь и объём
[править | править код]Площадь A и объём V усечённого кубооктаэдра с ребром длины a равны:
Рассечение
[править | править код]Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный ромбокубооктаэдр с 6 квадратными куполами[англ.] над первичными квадратными гранями, 8 треугольными куполами[англ.] над треугольными гранями и 12 кубами над вторичными квадратными гранями.
Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать тороиды Стюарта[англ.] рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметрию[8][9].
Род 3 | Род 5 | Род 7 | Род 11 |
---|---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Однородные раскраски
[править | править код]Существует только одна однородная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.
Существует 2-однородная раскраска тетраэдральной симметрией с раскраской шестиугольников в два цвета.
Ортогональные проекции
[править | править код]Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в A2 и B2 плоскости Коксетера с [6] и [8] проективными симметриями, и множество [2] симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции.
Сферические мозаики
[править | править код]Усечённый кубооктаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроектировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости.
![]() |
![]() квадрат-центрированная |
![]() шестиугольник-центрированная |
![]() восьмиугольник-центрированная |
Ортогональная проекция | Стереографические проекции |
---|
Связанные многогранники
[править | править код]Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.
Симметрия: [4,3], (*432)[англ.] | [4,3]+, (432) | [3+,4], (3*2) | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
{4,3} | t{4,3} | r{4,3} | t{3,4} | {3,4} | rr{4,3} | tr{4,3} | sr{4,3} | s{3,4} | ||
Двойственные многогранники | ||||||||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||
V43 | V3.82 | V(3.4)2 | V4.62 | V34 | V3.43 | V4.6.8 | V34.4 | V35 |
Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Для p < 6 члены последовательности являются общеусечёнными[англ.] многогранниками (зоноэдрами), показанными ниже как сферические мозаики. Для p > 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с усечённой трисемиугольной мозаики[англ.].
Симметрия *n32[англ.] n,3[англ.] |
Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболическая | Паракомп. | Некомпактная гиперболическая | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
*232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3] |
*∞32 [∞,3] |
[12i,3] |
[9i,3] |
[6i,3] |
[3i,3] | |
Фигуры | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Конфигурация | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12[англ.] | 4.6.14[англ.] | 4.6.16[англ.] | 4.6.∞[англ.] | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Двойственная | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Конфигурация грани | V4.6.4[англ.] | V4.6.6 | V4.6.8[англ.] | V4.6.10 | V4.6.12[англ.] | V4.6.14[англ.] | V4.6.16[англ.] | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
Симметрия *n42 [n,4] |
Сферическая | Евклидова | Компактная гиперболическая | Паракомп. | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
*242 [2,4] |
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]… |
*∞42 [∞,4] | |
Общеусечённая фигура |
![]() 4.8.4 |
![]() 4.8.6 |
![]() 4.8.8 |
![]() 4.8.10 |
![]() 4.8.12 |
![]() 4.8.14 |
![]() 4.8.16 |
![]() 4.8.∞ |
Общеусечённые двойственные |
![]() V4.8.4 |
![]() V4.8.6 |
![]() V4.8.8 |
![]() V4.8.10 |
![]() V4.8.12 |
![]() V4.8.14 |
![]() V4.8.16 |
![]() V4.8.∞ |
Граф усечённого кубооктаэдра
[править | править код]Граф усечённого кубооктаэдра | |
---|---|
![]() | |
Вершин | 48 |
Рёбер | 72 |
Автоморфизмы | 48 |
Хроматическое число | 2 |
Свойства |
кубический
нуль-симметричный[англ.] |
![]() |
В теории графов граф усечённого кубооктаэдра (или граф большого ромбокубооктаэдра) — это граф вершин и рёбер[англ.] усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, нульсимметричен[англ.] и является кубическим архимедовым графом [10].
Примечания
[править | править код]- ↑ Веннинджер, 1974, с. 39.
- ↑ Люстерник, 1956, с. 184.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.
- ↑ Веннинджер, 1974, с. 20, 39.
- ↑ Wenninger, 1974, с. 29.
- ↑ Williams, 1979, с. 82.
- ↑ Cromwell, 1997, с. 82.
- ↑ Stewart, 1970.
- ↑ Adventures Among the Toroids — Chapter 5 — Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1 . Дата обращения: 8 ноября 2015. Архивировано 4 февраля 2016 года.
- ↑ Read, Wilson, 1998, с. 269.
Литература
[править | править код]- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
- Magnus Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — ISBN 978-0-521-09859-5. (Модель 15, стр. 29)
- Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X.. (Секция 3-9, стр. 82)
- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.
- R.C. Read, R.J. Wilson. An Atlas of Graphs. — Oxford University Press, 1998.
- B. M. Stewart. Adventures Among the Toroids. — 1970. — ISBN 978-0-686-11936-4.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Great rhombicuboctahedral graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- 3D convex uniform polyhedra
- Editable printable net of a truncated cuboctahedron with interactive 3D view
- The Uniform Polyhedra
- Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
- great Rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting