Пятиугольник (Hxmnrikl,unt)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы.

Площадь пятиугольника без самопересечений

[править | править код]

Площадь пятиугольника без самопересечений, заданного координатами вершин, определяется по общей для многоугольников формуле.

Выпуклым пятиугольником называется пятиугольник, такой, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°.

Любые 9 точек в общем положении содержат вершины выпуклого пятиугольника, и существует множество из 8 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пятиугольника[1]. Доказано также, что любые 10 точек на плоскости в общем положении содержат выпуклый пустой пятиугольник, и существует множество из 9 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пустого пятиугольника[2].

Правильный пятиугольник (пентагон)

Правильный пятиугольник

[править | править код]

Пентагоном или правильным пятиугольником называется пятиугольник, у которого все стороны и углы равны. Если провести в пентагоне диагонали, то он разобьётся на[3]:

  • меньший пентагон (образуеся точками пересечения диагоналей) — в центре
  • Вокруг меньшего пентагона — пять равнобедренных треугольников двух видов (с отношением бедра к основанию, равным золотой пропорции):
    • 1) имеют острые углы в 36° при вершине и острые углы в 72° при основании
    • 2) имеют тупой угол в 108° при вершине и острые углы в 36° при основании

При соединении двух первых и двух вторых треугольников их основаниями получатся два «золотых» ромба (первый имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144°). Роджер Пенроуз использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» паркета (мозаики Пенроуза).

Звездчатые пятиугольники

[править | править код]
Золотые сечения пентаграммы

Многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника называется звёздчатым. Помимо правильного существует ещё один звёздчатый пятиугольник — пентаграмма.

Пентаграмма, как полагал Пифагор, представляет собой математическое совершенство, поскольку демонстрирует золотое сечение (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). Если разделить длину любого цветного отрезка на длину самого длинного из оставшихся меньших отрезков, то будет получено золотое сечение φ.

Примечания

[править | править код]
  1. Kalbfleisch, J.D.; Kalbfleisch, J.G.; Stanton, R.G. (1970), "A combinatorial problem on convex regions", Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing, Congressus Numerantium, vol. 1, Baton Rouge, La.: Louisiana State Univ., pp. 180—188
  2. Harborth, Heiko (1978), "Konvexe Fünfecke in ebenen Punktmengen", Elem. Math., 33 (5): 116—118
  3. Плитки Пенроуза. Дата обращения: 9 февраля 2011. Архивировано 22 сентября 2013 года.