Выпуклый многогранник называется невырожденным или телесным, если он имеет внутренние точки.
Гранью выпуклого многогранника является пересечение многогранника полупространством, при котором никакая внутренняя точка многогранника не лежит на границе полупространства.
0-мерные грани называются вершинами,
1-мерные грани называются рёбрами.
n-мерный телесный многогранник называется простым, если в каждой его вершине сходится ровно n рёбер.
Много примеров ограниченных выпуклых многогранников можно найти в статье «многогранник».
В двухмерном пространстве примерами телесных многогранников будут полуплоскость, лента между двумя параллельными прямыми, угол (пересечение двух непараллельных полуплоскостей), фигура, задаваемая выпуклой ломаной с двумя лучами, присоединёнными к концам, и выпуклый многоугольник.
Специальными случаями неограниченных выпуклых многогранников является пластина между двумя параллельными гиперплоскостями, клин между двумя непараллельными полупространствами, цилиндр, неограниченная призма и неограниченный конус.
Выпуклый многогранник является пересечением конечного числа замкнутых полупространств.
Ограниченный выпуклый многогранник может быть построен в виде выпуклой оболочки конечного числа точек.
Ограниченный выпуклый многогранник, как и любое другое компактное выпуклое подмножество Rn, гомеоморфно замкнутому шару.[2] Если многогранник является телесным, шар имеет размерность .
Грани выпуклого многогранника образуют решётку с эйлеровым частичным порядком, которая называется решёткой граней, где частичный порядок определяется принадлежностью граней. Определение грани, данное выше, позволяет как сам многогранник, так и пустое множество считать гранями. Весь многогранник является единственным максимальным элементом решётки, а пустое множество, являясь (−1)-мерной гранью (пустой многогранник), является единственным минимальным элементом многогранника.
Как показал Уитни[3], решётка граней трёхмерного многогранника определяется его графом. То же самое верно, если многогранник является простым (Blind & Mani-Levitska (1987), в книге Kalai (1988) дано простое доказательство). Последний факт является инструментом в доказательстве, что с точки зрения вычислительной сложности задача определения, являются ли два выпуклых многогранника комбинаторно изоморфными, эквивалентна задаче определения, являются ли графы изоморфными, даже если ограничиться классами простых или симплексных многогранников.[4]
Любой выпуклый многогранник допускает триангуляцию с множеством вершин совпадающим с множеством вершин многогранника.[5]
