Усечённый куб (Rvyc~uudw trQ)

Усечённый куб
Усечённый куб
	; (вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный
Комбинаторика
14 граней; 36 рёбер; 24 вершины	Χ = 2
Грани	8 треугольников; 6 восьмиугольников
Конфигурация вершины	3.82
Двойственный многогранник	триакисоктаэдр
	Развёртка
Классификация
Обозначения	tC
Символ Шлефли	t{4,3}
Группа симметрии	Oh (октаэдрическая)
	Медиафайлы на Викискладе

Усечённый куб^[1]^[2]^[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 правильных восьмиугольников.

В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две восьмиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен $\arccos \left(-{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)\approx 0{,}89\pi .$

Усечённый куб имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя восьмиугольными гранями) двугранные углы прямые, как в кубе; при 24 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) двугранные углы тупые и равны $\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)\approx 125{,}26^{\circ },$ как в кубооктаэдре.

Усечённый куб можно получить из обычного куба, «срезав» с того 8 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.

Метрические характеристики

Если усечённый куб имеет ребро длины $a$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

S=2\left(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 32{,}4346644a^{2},

V={\frac {1}{3}}\left(21+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 13{,}5996633a^{3}.

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R={\frac {1}{2}}{\sqrt {7+4{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}7788236a;

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

\rho ={\frac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}7071068a.

Вписать в усечённый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого куба с ребром $a$ (она будет касаться только всех восьмиугольных граней в их центрах), равен

r_{8}={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}2071068a.

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит $r_{8}$ и равно

r_{3}={\sqrt {{\frac {17}{12}}+{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}6825220a.

В координатах

Усечённый куб можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел $(\pm 1;\;\pm 1;\;\pm ({\sqrt {2}}-1)).$