Удлинённая пятиугольная пирамида (R;lnu~uugx hxmnrikl,ugx hnjgbn;g)

Удлинённая пятиугольная пирамида
Удлинённая пятиугольная пирамида
	; (3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
11 граней; 20 рёбер; 11 вершин	Χ = 2
Грани	5 треугольников; 5 квадратов; 1 пятиугольник
Конфигурация вершины	5(42.5) ; 5(32.42) ; 1(35)
Двойственный многогранник	J9
	Развёртка
Классификация
Обозначения	J9, М3+П5
Группа симметрии	C5v

Удлинённая пятиуго́льная пирами́да^[1] — один из многогранников Джонсона (J₉, по Залгаллеру — М₃+П₅).

Составлена из 11 граней: 5 правильных треугольников, 5 квадратов и 1 правильного пятиугольника. Пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной, двумя квадратными и треугольной; каждая треугольная грань окружена квадратной и двумя треугольными.

Имеет 20 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 5 рёбер — между двумя квадратными, 5 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 5 — между двумя треугольными.

У удлинённой пятиугольной пирамиды 11 вершин. В 5 вершинах сходятся пятиугольная и две квадратных грани; в 5 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 1 вершине сходятся пять треугольных граней.

Удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из двух многогранников — правильной пятиугольной пирамиды (J₂) и правильной пятиугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив их друг к другу основаниями.

Метрические характеристики

Если удлинённая пятиугольная пирамида имеет ребро длины $a$ , её площадь поверхности и объём выражаются как

S={\frac {1}{4}}\left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 8{,}8855409a^{2},

V={\frac {1}{24}}\left(5+{\sqrt {5}}+6{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\approx 2{,}0219802a^{3}.

В координатах

Удлинённую пятиугольную пирамиду с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

$\left(\pm 1;\;-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}};\;\pm 1\right),$
$\left(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}};\;{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}};\;\pm 1\right),$
$\left(0;\;{\sqrt {\frac {10+2{\sqrt {5}}}{5}}};\;\pm 1\right),$
$\left(0;\;0;\;1+{\sqrt {\frac {10-2{\sqrt {5}}}{5}}}\;\right).$