Тетраэдр (Mymjgz;j)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Тетраэдр

Тетра́эдр (др.-греч. τετράεδρον «четырёхгранник»[1]τέσσαρες / τέσσερες / τέτταρες / τέττορες / τέτορες «четыре» + ἕδρα «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника[2].

Тетраэдр является треугольной пирамидой при принятии любой из граней за основание. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

  • Параллельные плоскости, проходящие через три пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
  • Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части[3]:216-217.
  • Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра.
    • Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).
  • Центры сфер, которые проходят через три вершины и инцентр, лежат на сфере, центр которой совпадает с центром описанной сферы.
    • Также это утверждение верно и для внешних инцентров.
  • Плоскости, которые проходят через середину ребра и перпендикулярны противоположному ребру,пересекаются в одной точке (ортоцентр).
    • Ортоцентр в симплексе определяется как пересечение гиперплоскостей, которые перпендикулярны ребру и проходят через центр тяжести противоположного элемента.
  • Центр сферы(F),которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра, центр тяжести тетраэдра(M), центр описанной сферы(R) и ортоцентр (H) лежат на одной прямой. При этом .
  • Центр сферы (S) вписанный в дополнительный тетраэдр,центр сферы (N) вписанный в антидополнительный тетраэдр, центр тяжести тетраэдра (M) и центр вписанной сферы (I) лежат на одной прямой.
  • Пусть точка G1 делит отрезок соединяющий ортоцентр(H) и вершину 1 в отношении 1:2. Опустим перпендикуляр с точки G1 на грань противолежащей вершине 1. Перпендикуляр пересекает грань в точке W1. Точки G1 и W1 лежат на сфере (сфере Фейербаха), которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра.
  • Сечение плоскостью, проходящей через середины четырёх рёбер тетраэдра, является параллелограммом.

Типы тетраэдров

[править | править код]
Развёртка равногранного тетраэдра

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Развёрткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделённый тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Свойства равногранного тетраэдра:

  • Все его грани равны (конгруэнтны).
  • Скрещивающиеся рёбра попарно равны.
  • Трёхгранные углы равны.
  • Противолежащие двугранные углы равны.
  • Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
  • Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
  • Развёртка тетраэдра — треугольник или параллелограмм.
  • Описанный параллелепипед прямоугольный.
  • Тетраэдр имеет три оси симметрии.
  • Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.
  • Средние линии попарно перпендикулярны.
  • Периметры граней равны.
  • Площади граней равны.
  • Высоты тетраэдра равны.
  • Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
  • Радиусы описанных около граней окружностей равны.
  • Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
  • Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
  • Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
  • Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
  • Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням) равна нулю.
  • Сумма всех двугранных углов равна нулю.
  • Центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере.

Все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

  • Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
  • Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
  • Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
  • Суммы квадратов противоположных рёбер тетраэдра равны.
  • Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, равны.
  • Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
  • Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположных рёбер.
  • У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера) каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
  • У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере (сфере 12 точек).

Прямоугольный тетраэдр

[править | править код]

Все рёбра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда.

Каркасный тетраэдр

[править | править код]

Это тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий[4]:

  • существует сфера, касающаяся всех рёбер,
  • суммы длин скрещивающихся рёбер равны,
  • суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны,
  • окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
  • все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, — описанные,
  • перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

У этого типа бивысоты равны.

Свойства соразмерного тетраэдра:

  • Бивысоты равны. Бивысотами тетраэдра называют общие перпендикуляры к двум скрещивающимся его рёбрам (рёбрам, не имеющим общих вершин).
  • Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане, есть ромб. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).
  • Грани описанного параллелепипеда равновелики.
  • Выполняются соотношения: , где и , и , и  — длины противоположных рёбер.
  • Для каждой пары противоположных рёбер тетраэдра плоскости, проведённые через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
  • В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.

Инцентрический тетраэдр

[править | править код]

У этого типа отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке. Свойства инцентрического тетраэдра:

  • Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка — центр тяжести тетраэдра.
  • Замечание. Если в последнем условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра. Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров — инцентрических.
  • Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
  • Биссектрисы углов двух граней, проведённому к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
  • Произведения длин противоположных рёбер равны.
  • Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трёх рёбер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих рёбер, является равносторонним.

Это равногранный тетраэдр, у которого все грани — правильные треугольники. Является одним из пяти платоновых тел.

Свойства правильного тетраэдра:

  • все рёбра тетраэдра равны между собой,
  • все грани тетраэдра равны между собой,
  • периметры и площади всех граней равны между собой.
  • Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим, каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
  • Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
  • Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный.
  • В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
  • Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причём рёбра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше рёбер правильного тетраэдра.
  • Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
  • Правильный тетраэдр можно вписать в додекаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами додекаэдра.
  • Скрещивающиеся рёбра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Объём тетраэдра

[править | править код]
  • Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках равен

или

где  — площадь любой грани, а  — высота, опущенная на эту грань.

  • Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
  • Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b, как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол , находится по формуле:

  • Объём тетраэдра через длины трёх его рёбер a, b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы , находится по формуле[5]

где

  • Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол :

где

Есть аналог формулы Герона для объёма тетраэдра [6]

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве

[править | править код]

Обозначения:

— координаты вершин тетраэдра.

  • Объём тетраэдра (с учётом знака):

.

  • Координаты центра тяжести (пересечение медиан):

  • Координаты центра вписанной сферы:

где — площадь грани, противолежащей первой вершине, — площадь грани, противолежащей второй вершине и так далее.

Соответственно уравнение вписанной сферы:

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой вершине:

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой и второй вершинам (количество таких сфер может варьироваться от нуля до трёх):

  • Уравнение описанной сферы:

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

[править | править код]

Обозначения:

 — барицентрические координаты.

  • Объём тетраэдра (с учётом знака): Пусть — координаты вершин тетраэдра.

Тогда

где — объем базисного тетраэдра.

  • Координаты центра тяжести (пересечение медиан):
  • Координаты центра вписанной сферы:
  • Координаты центра описанной сферы:

  • Расстояние между точками :

Пусть и так далее.

Тогда расстояние между двумя точками:

  • Уравнение плоскости по трём точкам:

Здесь и дальше будут приведённые координаты.

  • Уравнение сферы по центру и радиусу:

  • Уравнение плоскости по точке и вектору нормали:

Так как вектор это разность двух точек(начало и конца вектора), то

Сравнение формул треугольника и тетраэдра

[править | править код]
Площадь(Объём)
, где — расстояние между вершинами 1 и 2
,

где — угол между гранями 1 и 2, и — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2

Длина(площадь) биссектрисы
Длина медианы
Радиус вписанной окружности(сферы)
Радиус описанной окружности(сферы)
, где — площадь треугольника со сторонами
Теорема косинусов
,

где — угол между гранями 1 и 2, и — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2, алгебраическое дополнение элемента матрицы

Теорема синусов
,

где — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4, , где — двугранные углы вершины.

Теорема о сумме углов треугольника(соотношение между двугранными углами тетраэдра)
,

где — угол между гранями 1 и 2

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (сфер)
,

где — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4.

Другая запись выражения: где — расстояние между центром описанной сферы и центром сферы, проходящая через три вершины и инцентр.

Тетраэдр в неевклидовых пространствах

[править | править код]

Объём неевклидовых тетраэдров

[править | править код]

Существует множество формул нахождения объёма неевклидовых тетраэдров. Например, формула Деревнина — Медных[7] для гиперболического тетраэдра и формула Дж. Мураками[8] для сферического тетраэдра. Объём тетраэдра в сферическом пространстве и в пространстве Лобачевского, как правило, не выражается через элементарные функции.

Соотношение между двугранными углами тетраэдра

[править | править код]

— для сферического тетраэдра.

— для гиперболического тетраэдра.

Где — матрица Грама для двугранных углов сферического и гиперболического тетраэдра.

 — угол между гранями, противолежащими i и j вершине.

Теорема косинусов

[править | править код]

— для сферического и гиперболического тетраэдра.

— для сферического тетраэдра.

— для гиперболического тетраэдра.

Где — матрица Грама для приведённых рёбер сферического тетраэдра.

— матрица Грама для приведённых рёбер гиперболического тетраэдра.

 — приведенное расстояние между i и j вершин.

алгебраическое дополнение матрицы .

Теорема синусов

[править | править код]

— для сферического и гиперболического тетраэдра.

Радиус описанной сферы

[править | править код]

— для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения: , где нормали граней тетраэдра.

Или с координатами вершин тетраэдра: .


— для гиперболического тетраэдра.

Радиус вписанной сферы

[править | править код]

для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения:

,

где единичные радиус векторы вершин тетраэдра.

для гиперболического тетраэдра.

Расстояние между центрами вписанной и описанной сфер

[править | править код]

— для сферического тетраэдра.

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

[править | править код]
  • Координаты центра вписанной сферы:

— для сферического тетраэдра.

  • Координаты центра описанной сферы:

— для сферического тетраэдра.

Тетраэдры в микромире

[править | править код]


Тетраэдры в живой природе

[править | править код]
Тетраэдр из грецких орехов

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в технике

[править | править код]
  • Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм,Стержни испытывают только продольные нагрузки.
  • Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
  • Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр[9].

Тетраэдры в философии

[править | править код]

«Платон говорил, что наименьшие частицы огня суть тетраэдры»[10].

Примечания

[править | править код]
  1. Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «τετρά-εδρον». Дата обращения: 20 февраля 2020. Архивировано из оригинала 28 декабря 2014 года.
  2. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  3. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с. Архивировано 10 января 2014 года.
  4. В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» № 7, 1983 г.
  5. Моденов П.С. Задачи по геометрии. — М.: Наука, 1979. — С. 16.
  6. Маркелов С. Формула для объема тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132
  7. Источник. Дата обращения: 31 марта 2018. Архивировано 30 августа 2017 года.
  8. Источник. Дата обращения: 31 марта 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.
  9. http://knol.google.com/k/триггер#view Архивная копия от 23 ноября 2010 на Wayback Machine Триггер
  10. Вернер Гейзенберг. У истоков квантовой теории. М. 2004 г. стр.107

Литература

[править | править код]