Додекододекаэдр (:k;ytk;k;ytgz;j)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Додекододекаэдр
Octahedron
Тип Однородный звёздчатый
многогранник
Звёздчатая форма Правильного додекаэдра
Элементы F = 24, E = 60, V = 30
Характеристика
Эйлера
= -6
Рёбер по граням 12{5}+12{5/2}
Символ Шлефли {5/2,5}
Символ Витхоффа 2 |55/2


2 | 5 5/3
2 | 5/2 5/4
2 | 55/3 5/4

Группа симметрии Ih, [5,3], (*532)
Обозначения U36,C45, W73
Вершинная фигура
5.5/2.5.5/2
(Вершинная фигура)
Двойственный


Средний
ромботриаконтаэдр
двойственный
многогранник

Додекододекаэдроднородный звёздчатый многогранник, имеющий номер U36.

Построение Витхоффа

[править | править код]

Многогранник имеет четыре построения Витхоффа из четырёх семейств треугольников Шварца: 2 | 5 5/2, 2 | 5 5/3, 2 | 5/2 5/4, 2 | 5/3 5/4, которые дают одинаковые результаты. Таким же образом ему можно задать четыре расширенных символа Шлефли: t1{5/2,5}, t1{5/3,5}, t1{5/2,5/4} и t1{5/3,5/4}, а также ему соответствуют четыре диаграммы Коксетера — Дынкина: node5ratd2node_15node, node5ratd3node_15node, node5ratd2node_15ratd4node и node5ratd3node_15ratd4node.

Форму с тем же внешним видом, что и у додекододекаэдра, можно построить из этих развёрток:

Нужно 12 пятиугольных звёзд и 20 ромбических групп. Однако это построение заменяет пересекающиеся пятиугольные грани додекододекаэдра на набор непересекающихся ромбов, что не соответствует той же самой внутренней структуре.

Связанные многогранники

[править | править код]

Выпуклой оболочкой многогранника является икосододекаэдр. У него то же самое расположение рёбер[англ.], что и у малого додекогемикосаэдра[англ.] (они имеют общие пентаграммные грани), и у большого додекогемикосаэдра[англ.] (они имеют общие пятиугольные грани).


Додекододекаэдр

Малый додекогемикосаэдр[англ.]

Большой додекогемикосаэдр[англ.]

Икосододекаэдр (Выпуклая оболочка)

Этот многогранник можно считать полным усечением большого додекаэдра. Он находится посреди последовательности усечений от малого звёздчатого додекаэдра к большому додекаэдру.

Усечённый малый звёздчатый додекаэдр выглядит как додекаэдр по поверхности, но имеет 24 грани — 12 пятиугольников от усечения вершин и 12 перекрывающих их пятиугольников, полученных усечением пентаграмм. Усечение самого додекододекаэдра не является однородным и попытка сделать его однородным приводит к вырожденному многограннику (который выглядит как малый ромбододекаэдр[англ.]), но он имеет однородное квазиусечение, которое не совсем правильно называют усечённым додекододекаэдром[англ.] (следовало бы назвать квазиусечённым додекододекаэдром).

Название Малый звёздчатый додекаэдр Усечённый малый звёздчатый додекаэдр Додекододекаэдр Усечённый
большой
додекаэдр
[англ.]
Большой
додекаэдр
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
node5node5ratd2node_1 node5node_15ratd2node_1 node5node_15ratd2node node_15node_15ratd2node node_15node5ratd2node
Рисунок

Многогранник топологически эквивалентен факторпространству гиперболической пятиугольной мозаики 4-го порядка[англ.] по деформации пентаграмм обратно в правильные пятиугольники. Таким образом, он является, топологически, правильным многогранником с индексом 2:[1][2]

Цвета на этом рисунке соответствуют цветам красных пентаграмм и жёлтых пятиугольников додекаэдра в начале статьи.


Средний Ромботриаконтаэдр

[править | править код]
Средний Ромботриаконтаэдр
Octahedron
Тип Звёздчатый многогранник
Грань
Элементы F = 30, E = 60, V = 24
Характеристика
Эйлера
= -6
Группа симметрии Ih, [5,3], (*532)
Обозначения DU36
Двойственный
многогранник
Додекододекаэдр

Средний ромботриаконтаэдр — невыпуклый изоэдрический многогранник. Он является двойственным додекододекаэдру и имеет 30 пересекающихся ромбических граней.

Его можно также назвать малым звёздчатым тридцатигранником.

Звёздчатые формы

[править | править код]

Средний ромботриаконтаэдр является звёздчатой формой ромботриаконтаэдра. Выпуклой оболочкой среднего ромботриаконтаэдра является икосаэдр.

Связанные гиперболические мозаики

[править | править код]

Многогранник топологически эквивалентен факторпространству гиперболической квадратной мозаики 5-го порядка[англ.] по деформации ромбов в квадраты. Следовательно, он топологически является правильным многогранником с индексом 2:[1]

Заметим, что квадратная мозаика 5-го порядка двойственна пятиугольной мозаике 4-го порядка[англ.] и факторпространство пятиугольной мозаики 4-го порядка топологически эквивалентно двойственному многограннику для среднего ромботриаконтаэдра, додекододекаэдру.

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 The Regular Polyhedra (of index two) Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, David A. Richter
  2. The Golay Code on the Dodecadodecahedron Архивная копия от 18 октября 2018 на Wayback Machine, David A. Richter

Литература

[править | править код]
  • Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge University Press, 1983. — ISBN 978-0-521-54325-5.