Треугольник Шварца (Mjyrikl,unt Ofgjeg)
Треугольник Шварца — сферический треугольник, который можно использовать для создания мозаики на сфере, возможно с наложением, путём отражений треугольника относительно сторон. Треугольники классифицированы в работе немецкого математика Карла Шварца 1873 года[1].
Треугольники Шварца можно определить в более общем виде как мозаики на сфере, евклидовой или гиперболической плоскости. Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу, в то время как на евклидовой плоскости они определяют бесконечные группы.
Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами (p q r), каждое из которых задаёт угол в вершине. Значение n/d означает, что угол в вершине треугольника равен d/n развёрнутого угла. 2 означает прямоугольный треугольник. Если эти числа целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и он соответствует мозаике без перекрытий, а группа симметрии называется группой треугольника. На сфере имеется 3 треугольника Мёбиуса и ещё одно однопараметрическое семейство. На плоскости имеется три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве имеется семейство треугольников Мёбиуса с тремя параметрами и нет исключительных объектов[англ.].
Пространство решений
[править | править код]Фундаментальная область в виде треугольника (p q r) может существовать в различных пространствах в зависимости от суммы обратных величин этих целых:
- Сфера
- Евклидова плоскость
- Гиперболическая плоскость
Проще говоря, сумма углов треугольника в евклидовой плоскости равна π, в то время как на сфере сумма углов больше π, а на гиперболической плоскости сумма меньше π.
Графическое представление
[править | править код]Треугольник Шварца представляется графически как треугольный граф. Каждая вершина соответствует стороне (зеркалу) треугольника Шварца. Каждое ребро помечено рациональным значением, соответствующим порядку отражения, которое равно π/внешний угол.
Schwarz triangle (p q r) on sphere |
Schwarz triangle graph |
Рёбра с порядком 2 представляют перпендикулярные зеркала, которые в этой диаграмме можно опускать. Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет эти треугольные графы без рёбер порядка 2.
Можно использовать группу Коксетера для более простой записи, как (p q r) для циклических графов, (p q 2) = [p,q] для прямоугольных треугольников) и (p 2 2) = [p]×[].
Список треугольников Шварца
[править | править код]Треугольники Мёбиуса на сфере
[править | править код](2 2 2) или [2,2] |
(3 2 2) или [3,2] |
... |
---|---|---|
(3 3 2) или [3,3] |
(4 3 2) или [4,3] |
(5 3 2) или [5,3] |
Треугольники Шварца с целыми числами, также называемые треугольниками Мёбиуса, включают однопараметрическое семейство и три исключительных[англ.] случая:
- [p,2] или (p 2 2) – диэдральная симметрия,
- [3,3] или (3 3 2) – Тетраэдральная симметрия,
- [4,3] или (4 3 2) – Октаэдральная симметрия[англ.],
- [5,3] или (5 3 2) – Икосаэдральная симметрия,
Треугольники Шварца на сфере, сгруппированные по плотности
[править | править код]Треугольники Шварца (p q r), сгруппированные по плотности[англ.]:
Плотность | треугольник Шварца |
---|---|
1 | (2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n) |
d | (2 2 n/d) |
2 | (3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3) |
3 | (2 3/2 3), (2 5/2 5) |
4 | (3 4/3 4), (3 5/3 5) |
5 | (2 3/2 3/2), (2 3/2 4) |
6 | (3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5) |
7 | (2 3 4/3), (2 3 5/2) |
8 | (3/2 5/2 5) |
9 | (2 5/3 5) |
10 | (3 5/3 5/2), (3 5/4 5) |
11 | (2 3/2 4/3), (2 3/2 5) |
13 | (2 3 5/3) |
14 | (3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4) |
16 | (3 5/4 5/2) |
17 | (2 3/2 5/2) |
18 | (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2) |
19 | (2 3 5/4) |
21 | (2 5/4 5/2) |
22 | (3/2 3/2 5/2) |
23 | (2 3/2 5/3) |
26 | (3/2 5/3 5/3) |
27 | (2 5/4 5/3) |
29 | (2 3/2 5/4) |
32 | (3/2 5/45/3) |
34 | (3/2 3/2 5/4) |
38 | (3/2 5/4 5/4) |
42 | (5/4 5/4 5/4) |
Треугольники на евклидовой плоскости
[править | править код](3 3 3) |
(4 4 2) |
(6 3 2) |
Плотность 1:
- (3 3 3) – 60-60-60 (равносторонний)
- (4 4 2) – 45-45-90[англ.] (равнобедренный прямоугольный)
- (6 3 2) – 30-60-90[англ.]
- (2 2 ∞) - 90-90-0 "треугольник"
Плотность 2:
- (6 6 3/2) - 120-30-30 треугольник
Плотность ∞:
- (4 4/3 ∞)
- (3 3/2 ∞)
- (6 6/5 ∞)
Треугольники на гиперболической плоскости
[править | править код](7 3 2) |
(8 3 2) |
(5 4 2) |
(4 3 3) |
(4 4 3) |
(∞ ∞ ∞) |
Фундаментальные области треугольников (p q r) |
Плотность 1:
- (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
- (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
- (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
- (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
- (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
- (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
- (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
- (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
- ...
- (∞ ∞ ∞)
Плотность 2:
- (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
- (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
- (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
- (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
- ...
Плотность 3:
- (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...
Плотность 4:
- (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...
Плотность 6:
- (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...
Плотность 10:
- (3 7/2 7)
Треугольник Шварца (2 3 7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и представляет особый интерес. Его группа треугольника (или, более точно, группа фон Дика сохраняющих ориентацию изометрий с индексом 2) является группой треугольников (2,3,7)[англ.], которая является универсальной группой для всех групп Гурвица[англ.] — максимальных групп изометрий римановых поверхностей. Все группы Гурвица являются факторгруппами группы треугольников (2,3,7) и все поверхности Гурвица покрываются мозаиками из треугольников Шварца (2,3,7). Наименьшая группа Гурвица — это простая группа порядка 168, вторая наименьшая неабелева простая группа, которая изоморфна PSL(2,7) и ассоциирована с поверхностью Гурвица рода 3, — это квартика Клейна[англ.].
Треугольник (2 3 8) замощает поверхность Больца, высокосимметричную (но не являющуюся поверхностью Гурвица) поверхность рода 2.
Треугольники с одним нецелым углом, перечисленные выше, впервые классифицированы Антони В. Кнаппом (англ. Anthony W. Knapp) в статье 1968 года[2]. Список треугольников с несколькими нецелыми углами даны в статье Клименко и Сакума 1998 года[3].
См. также
[править | править код]- Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца
- Символ Витхоффа[англ.]
- Построение Витхоффа
- Однородный многогранник
- Невыпуклый однородный многогранник[англ.]
- Плотность политопа[англ.]
- Тетраэдр Гурса
- Правильные однородные мозаики[англ.]
- Однородные мозаики на гиперболической плоскости
Примечания
[править | править код]- ↑ Schwarz, 1873.
- ↑ Knapp, 1968, с. 289—304.
- ↑ Klimenko, Sakuma, 1998, с. 247—282.
Литература
[править | править код]- Coxeter H. C. M. . Table 3: Schwarz’s Triangles // Regular Polytopes (book)[англ.]. — Third edition. — Dover Edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- Klimenko E., Sakuma M. Two-generator discrete subgroups of Isom(H2) containing orientation-reversing elements // Geometriae Dedicata. — 1998. — Vol. 72, no. 3. — doi:10.1023/A:1005032526329.
- Knapp A. W. Doubly generated Fuchsian groups // Michigan Mathematics Journal. — 1968. — Vol. 15, no. 3.
- Schwarz H. A. Über diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1873. — Bd. 75. — S. 292—335. — ISSN 0075-4102. — doi:10.1515/crll.1873.75.292. Заметим, что Коксетер ссылается на эту статью как «Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe», что является укороченным заголовком, использованным как заголовки страниц.
- Wenninger, Magnus J. . An introduction to the notion of polyhedral density // Spherical models. — CUP Archive, 1979. — P. 132—134. — ISBN 978-0-521-22279-2.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Schwarz triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- KlitzingPolytopes The general Schwarz triangle (p q r) and the generalized incidence matrices of the corresponding polyhedra
Для улучшения этой статьи желательно:
|