Треугольник Шварца (Mjyrikl,unt Ofgjeg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Треугольник Шварцасферический треугольник, который можно использовать для создания мозаики на сфере, возможно с наложением, путём отражений треугольника относительно сторон. Треугольники классифицированы в работе немецкого математика Карла Шварца 1873 года[1].

Треугольники Шварца можно определить в более общем виде как мозаики на сфере, евклидовой или гиперболической плоскости. Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу, в то время как на евклидовой плоскости они определяют бесконечные группы.

Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами (p q r), каждое из которых задаёт угол в вершине. Значение n/d означает, что угол в вершине треугольника равен d/n развёрнутого угла. 2 означает прямоугольный треугольник. Если эти числа целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и он соответствует мозаике без перекрытий, а группа симметрии называется группой треугольника. На сфере имеется 3 треугольника Мёбиуса и ещё одно однопараметрическое семейство. На плоскости имеется три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве имеется семейство треугольников Мёбиуса с тремя параметрами и нет исключительных объектов[англ.].

Пространство решений

[править | править код]

Фундаментальная область в виде треугольника (p q r) может существовать в различных пространствах в зависимости от суммы обратных величин этих целых:

Сфера
Евклидова плоскость
Гиперболическая плоскость

Проще говоря, сумма углов треугольника в евклидовой плоскости равна π, в то время как на сфере сумма углов больше π, а на гиперболической плоскости сумма меньше π.

Графическое представление

[править | править код]

Треугольник Шварца представляется графически как треугольный граф. Каждая вершина соответствует стороне (зеркалу) треугольника Шварца. Каждое ребро помечено рациональным значением, соответствующим порядку отражения, которое равно π/внешний угол.


Schwarz triangle (p q r) on sphere

Schwarz triangle graph

Рёбра с порядком 2 представляют перпендикулярные зеркала, которые в этой диаграмме можно опускать. Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет эти треугольные графы без рёбер порядка 2.

Можно использовать группу Коксетера для более простой записи, как (p q r) для циклических графов, (p q 2) = [p,q] для прямоугольных треугольников) и (p 2 2) = [p]×[].

Список треугольников Шварца

[править | править код]

Треугольники Мёбиуса на сфере

[править | править код]

(2 2 2) или [2,2]

(3 2 2) или [3,2]
...

(3 3 2) или [3,3]

(4 3 2) или [4,3]

(5 3 2) или [5,3]

Треугольники Шварца с целыми числами, также называемые треугольниками Мёбиуса, включают однопараметрическое семейство и три исключительных[англ.] случая:

  1. [p,2] или (p 2 2) – диэдральная симметрия, nodepnode2node
  2. [3,3] или (3 3 2) – Тетраэдральная симметрия, node3node3node
  3. [4,3] или (4 3 2) – Октаэдральная симметрия[англ.], node4node3node
  4. [5,3] или (5 3 2) – Икосаэдральная симметрия, node5node3node

Треугольники Шварца на сфере, сгруппированные по плотности

[править | править код]

Треугольники Шварца (p q r), сгруппированные по плотности[англ.]:

Плотность треугольник Шварца
1 (2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n)
d (2 2 n/d)
2 (3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3 (2 3/2 3), (2 5/2 5)
4 (3 4/3 4), (3 5/3 5)
5 (2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6 (3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7 (2 3 4/3), (2 3 5/2)
8 (3/2 5/2 5)
9 (2 5/3 5)
10 (3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
11 (2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13 (2 3 5/3)
14 (3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16 (3 5/4 5/2)
17 (2 3/2 5/2)
18 (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19 (2 3 5/4)
21 (2 5/4 5/2)
22 (3/2 3/2 5/2)
23 (2 3/2 5/3)
26 (3/2 5/3 5/3)
27 (2 5/4 5/3)
29 (2 3/2 5/4)
32 (3/2 5/45/3)
34 (3/2 3/2 5/4)
38 (3/2 5/4 5/4)
42 (5/4 5/4 5/4)

Треугольники на евклидовой плоскости

[править | править код]

(3 3 3)

(4 4 2)

(6 3 2)

Плотность 1:

  1. (3 3 3) – 60-60-60 (равносторонний)
  2. (4 4 2) – 45-45-90[англ.] (равнобедренный прямоугольный)
  3. (6 3 2) – 30-60-90[англ.]
  4. (2 2 ∞) - 90-90-0 "треугольник"

Плотность 2:

  1. (6 6 3/2) - 120-30-30 треугольник

Плотность ∞:

  1. (4 4/3 ∞)
  2. (3 3/2 ∞)
  3. (6 6/5 ∞)

Треугольники на гиперболической плоскости

[править | править код]

(7 3 2)

(8 3 2)

(5 4 2)

(4 3 3)

(4 4 3)

(∞ ∞ ∞)
Фундаментальные области треугольников (p q r)

Плотность 1:

  • (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
  • (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
  • (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
  • (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
  • (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
  • (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
  • (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
  • (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
  • ...
  • (∞ ∞ ∞)

Плотность 2:

  • (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
  • (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
  • (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
  • (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
  • ...

Плотность 3:

  • (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

Плотность 4:

  • (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

Плотность 6:

  • (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...

Плотность 10:

  • (3 7/2 7)

Треугольник Шварца (2 3 7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и представляет особый интерес. Его группа треугольника (или, более точно, группа фон Дика сохраняющих ориентацию изометрий с индексом 2) является группой треугольников (2,3,7)[англ.], которая является универсальной группой для всех групп Гурвица[англ.] — максимальных групп изометрий римановых поверхностей. Все группы Гурвица являются факторгруппами группы треугольников (2,3,7) и все поверхности Гурвица покрываются мозаиками из треугольников Шварца (2,3,7). Наименьшая группа Гурвица — это простая группа порядка 168, вторая наименьшая неабелева простая группа, которая изоморфна PSL(2,7) и ассоциирована с поверхностью Гурвица рода 3, — это квартика Клейна[англ.].

Треугольник (2 3 8) замощает поверхность Больца, высокосимметричную (но не являющуюся поверхностью Гурвица) поверхность рода 2.

Треугольники с одним нецелым углом, перечисленные выше, впервые классифицированы Антони В. Кнаппом (англ. Anthony W. Knapp) в статье 1968 года[2]. Список треугольников с несколькими нецелыми углами даны в статье Клименко и Сакума 1998 года[3].

Примечания

[править | править код]
  1. Schwarz, 1873.
  2. Knapp, 1968, с. 289—304.
  3. Klimenko, Sakuma, 1998, с. 247—282.

Литература

[править | править код]
  • Coxeter H. C. M. . Table 3: Schwarz’s Triangles // Regular Polytopes (book)[англ.]. — Third edition. — Dover Edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Klimenko E., Sakuma M.  Two-generator discrete subgroups of Isom(H2) containing orientation-reversing elements // Geometriae Dedicata. — 1998. — Vol. 72, no. 3. — doi:10.1023/A:1005032526329.
  • Knapp A. W.  Doubly generated Fuchsian groups // Michigan Mathematics Journal. — 1968. — Vol. 15, no. 3.
  • Schwarz H. A.  Über diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1873. — Bd. 75. — S. 292—335. — ISSN 0075-4102. — doi:10.1515/crll.1873.75.292.  Заметим, что Коксетер ссылается на эту статью как «Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe», что является укороченным заголовком, использованным как заголовки страниц.
  • Wenninger, Magnus J. . An introduction to the notion of polyhedral density // Spherical models. — CUP Archive, 1979. — P. 132—134. — ISBN 978-0-521-22279-2.