Кубика (TrQntg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Набор кубик

Куби́ка или ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной или аффинной), заданных кубическим уравнением

которое применяется к однородным координатам на проективной плоскости. Чтобы перейти к аффинной версии, достаточно положить z = 1.

Иногда кубикой также называют гиперповерхность 3-го порядка в пространстве произвольной размерности[1].

В Математическом энциклопедическом словаре приведено ударение «куби́ка»[1]. В другом словаре — «ку́бика»[2]. В разговорном языке употребляется произношение с ударением на первый слог: «ку́бика»[3][4][5][6][7].

Классификация

[править | править код]

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году[8].

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

  • ;
  • ;
  • ;
  • .

Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом, однако, 6 типов. Полную классификацию дал Плюккер[9].

По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.

Кубика y 2 = x 2 · (x + 1). Параметризация: t → (t 2 − 1, t · (t 2 − 1))
  • Теорема о девяти точках на кубике (теорема Шаля): даны две кубики A и B, имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
  • На кубике взяли точку A и провели из неё 2 касательных к кубике — одна касается кубики в точке A, другая — в точке B. Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны X и Y. Тогда X = 16Y[10].
  • Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
  • Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в ℝ² есть 4. Например, у кубики f (x, y) = 3x 35y 2x4x 210yx + 10y 26x + 20y + 12 график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки.
  • Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
  • На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой[11][12].
  • Прямая пересекает кубику в точках A, B, C. Касательные, восстановленные к кубике в точках A, B, C, пересекают кубику второй раз в точках P, Q, R. Тогда точки P, Q, R также лежат на одной прямой[13][14].

Применения

[править | править код]
  • Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
  • Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
  • Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик[15].
  • Фрэнк Морли доказал известную теорему, названную в его честь, изучая свойства кубик[16].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 304,55. — 845 с.
  2. Русско-португальский и португальско-русский физико-математический словарь / В. В. Логвинов. М.:Рус.яз., 1989, стр.131
  3. А. Н. Паршин. Теория представлений групп и алгебраическая геометрия на YouTube, начиная с 1:04:26
  4. С. С. Галкин. Алгебраические поверхности. Лекция 3. на YouTube, начиная с 1:13:16
  5. Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе. Лекция 4 Архивная копия от 6 апреля 2016 на Wayback Machine. Видеотека Общероссийского математического портала (в 20 мин 18 сек)
  6. С. М. Львовский Двадцать семь прямых. Занятие 3 Архивная копия от 6 апреля 2016 на Wayback Machine. Видеотека Общероссийского математического портала (в 36 мин 15 сек)
  7. С. А. Локтев. Теория представлений групп и алгебраическая геометрия на YouTube, начиная с 54:24
  8. «Enumeratio linearum tertii ordinis» (имеется русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Д. Д. Мордухай-Болтовского «Исаак Ньютон. Математические работы», стр. 194—209, доступны on-line постранично на アーカイブされたコピー. Дата обращения: 8 февраля 2016. Архивировано 12 июня 2008 года.).
  9. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: Физматгиз, 1961.
  10. Honsberger R. More Mathematical Morsels // Math. Assoc. Amer. — Washington, DC, 1991. — p. 114—118.
  11. Острик В. В., Цфасман М. А. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2010. — 48 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-71-5. Архивировано 28 декабря 2010 года.
  12. Соловьёв Ю. П. Рациональные точки на эллиптических кривых // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — № 10. — С. 138—143. Архивировано 13 августа 2011 года.
  13. The Cubic Curve and an Associated Structure by D. S. Macnab, The Mathematical Gazette Vol. 50, No. 372 (May, 1966), pp. 105—110 Published by: Mathematical Association DOI: 10.2307/3611930 Page Count: 6 Архивная копия от 7 февраля 2016 на Wayback Machine.
  14. См. также Weisstein, Eric W. Cubic Curve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld., [1] (недоступная ссылка), [2] (недоступная ссылка), [3], [4] Архивная копия от 7 февраля 2016 на Wayback Machine, [5], [6], [7] (недоступная ссылка), [8], [9].
  15. См. [10] Архивная копия от 5 сентября 2008 на Wayback Machine и [11].
  16. См. его работы [12] Архивная копия от 25 ноября 2008 на Wayback Machine.
  • Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированных точек) на языках Flash и Java.