Круговой фрактал (Tjrikfkw sjgtmgl)

Круговой фрактал после третьей итерации

Круговой фрактал — класс геометрических (конструктивных) фракталов (см., например,), построенных многократным вписыванием в окружность других окружностей меньшего радиуса. (см. рис. 1a, 1b, 1c).

Применение

Конструктивные круговые фракталы могут найти применение в качестве моделей различных природных структур в химии, биологии, технологии материалов и др. Фракталы такого типа были предложены в работе в качестве моделей кластеров магнитопотоковых трубок в верхних слоях солнечной конвективной зоны. Рассматривались и более сложные конструкции такого рода, например, круговые фракталы с перекрывающимися элементами, моделирующие скрученные магнитопотоковые трубки, см.также. Возможно также построение мультифрактальных конструкций подобного типа для моделирования более сложных структур. В отличие от ковров Серпинского, такие фракталы строятся не из прямоугольных или треугольных, а из круговых элементов.

Первые три из потенциально бесконечной последовательности таких круговых фракталов приведены на рис. 1a, 1b, и 1c.

Рис. 1a

Рис. 1b

Рис. 1c

Для расчета хаусдорфовых размерностей (d) этих объектов можно воспользоваться известной формулой для конструктивных фракталов: $d=\log(n)/\log(1/a)$. В случае рис. 1а, значение n=3. Параметр а — отношение характерных длин соседних масштабов. В данном случае, это $r_{i+1}/r_{i}$; где $r_{i}$ — радиус большей окружности, $r_{i+1}$ — радиус окружности соседнего меньшего масштаба. Из простых геометрических соображений находим: а=0,4641. Подставляя эти значения в формулу, получаем d≈1,43. Для варианта на рис. 1b, соответственно, n=4, а=0,4142… , d≈1,57… Для варианта, изображенного на рис. 1c, имеем: n=7, a=1/3 и, размерность d≈1,77… Увеличивая число вписываемых окружностей, получаем бесконечную последовательность фрактальных объектов, с хаусдорфовыми размерностями d → 2.

Пример

В окружность радиуса R вписывают семь окружностей радиуса R/3 таким образом, чтобы они все касались, но не пересекали друг друга. В каждую из этих семи окружностей вписываются по семь окружностей R/9 и т. д.

Круговой фрактал после четвёртой итерации

Круговой фрактал после пятой итерации

Литература

• Чумак О. В. Энтропии и фракталы в анализе данных. — РХД, 2011. — 164 с. — ISBN 978-5-93972-852-2. (недоступная ссылка)