Астроида (Gvmjkn;g)
Перейти к навигации
Перейти к поиску
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/HypocycloidK4.gif/220px-HypocycloidK4.gif)
Астроида
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Astroid1.gif/220px-Astroid1.gif)
Астроида как огибающая
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Evolute_of_ellipse.gif/220px-Evolute_of_ellipse.gif)
Вытянутая астроида как эволюта эллипса
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Evolute_of_astroid.gif/220px-Evolute_of_astroid.gif)
Эволюта астроиды
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/HypocycloidK4.gif/220px-HypocycloidK4.gif)
Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная)[1] — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем .
История
[править | править код]Название кривой в форме «Astrois» предложил австрийский астроном Йозеф Иоганн фон Литров в 1838 г.[2][3][1]
Уравнения
[править | править код]Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:
Параметрическое уравнение:[4]
Астроида также является алгебраической кривой 1 рода (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:
Свойства
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Astroid1.gif/220px-Astroid1.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Evolute_of_ellipse.gif/220px-Evolute_of_ellipse.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Evolute_of_astroid.gif/220px-Evolute_of_astroid.gif)
- Имеются четыре каспа.
- Длина дуги от точки с 0 до
- Длина всей кривой .
- Радиус кривизны:
- Площадь, ограниченная кривой:
- Объём тела вращения относительно любой координатной оси:
- Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых[1].
- Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
- Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипса[1]. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:
- Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения является интегралом от дифференциального бинома и равен
- Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 4 Александрова, 2008, с. 17.
- ↑ J. J. v. Littrow. §99. Die Astrois // Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik. — Wien, 1838. — P. 299.
- ↑ Loria, Gino. Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. — Leipzig, 1902. — P. 224.
- ↑ Уравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и основного тригонометрического тождества. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмём уравнение гипоциклоиды, подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтём R=4r и получим наши уравнения.
- ↑ Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 4.
Литература
[править | править код]- Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
- Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
- Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.