Кривая Персея (Tjnfgx Hyjvyx)

Кривые Персея как сечения тора плоскостью

Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от др.-греч. σπειρα — тор^[1]) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов^[2].

Впервые этот подкласс торических сечений изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений Менехмом^[3]. Переоткрыты в XVII веке^[2]; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.

Уравнение кривой в декартовой системе координат:

(r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2}+c^{2})

,

в ней $a$ — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом $r$ образован тор. При $c=0$ кривая состоит из двух окружностей радиуса $a$ с центрами $(\pm r,0)$ ; при $c=r+a$ кривая вырождается в точку — начало координат, если же $c>r+a$ — то кривая состоит из пустого множества точек^[3].

Если ввести новые параметры: $d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2})$ , $e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2})$ и $f=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$ , то возникает другая форма уравнения^[4]:

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f

.

Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую^[5], симметричную относительно осей $x$ и $y$ .

Уравнение в полярных координатах:

(r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})

,

или^[4]:

r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta )+f

.

Поскольку в приведённые неявные формулы входят только квадраты переменных, то получение явных формул сводится к решению квадратных уравнений.

Примечания

↑ Стиллвелл, 2004, с. 42: «Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям».
↑ ¹ ² Стиллвелл, 2004, с. 43.
↑ ¹ ² Мактьютор, 1997.
↑ ¹ ² Если система уравнений для $d$ , $e$ , $f$ не имеет решения в множестве допустимых параметров тора, то это уравнение не описывает кривую Персея.
↑ Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Литература

Стиллвелл Д. Математика и её история. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 42—43. — 530 с.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Spiric Section (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Spiric Sections (неопр.). MacTutor History (1 января 1997). Дата обращения: 18 мая 2018. Архивировано из оригинала 26 октября 2019 года.
Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Perseus (англ.) — биография в архиве MacTutor.

[_d5b726fe50caa29a-1] Стиллвелл, 2004, с. 42: «Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям».

[_77acde26205ca349-2] ¹ ² Стиллвелл, 2004, с. 43.

[_5674d97a23e1ee24-3] ¹ ² Мактьютор, 1997.

[Ут.-4] ¹ ² Если система уравнений для $d$ , $e$ , $f$ не имеет решения в множестве допустимых параметров тора, то это уравнение не описывает кривую Персея.

[5] Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]