Рациональная нормальная кривая (Jgenkugl,ugx ukjbgl,ugx tjnfgx)

Рациональная нормальная кривая — гладкая рациональная кривая степени^[англ.] n в n-мерном проективном пространстве $\mathbb {P} ^{n}.$ Она является одним из сравнительно простых проективных многообразий, более формально, она является образом вложения Веронезе, применённого к проективной прямой.

Определение

Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как образ отображения

\nu :\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{n}

которое переводит точку с однородными координатами $[s:t]$ в точку

[s^{n}:s^{n-1}t:s^{n-2}t^{2}:\ldots :t^{n}].

В аффинной карте $x_{0}=1$ это отображение записывается более простым образом:

\nu :x\mapsto (x,x^{2},\ldots ,x^{n}).

Нетрудно видеть, что рациональная нормальная кривая получается замыканием аффинной кривой $(x,x^{2},\dots ,x^{n})$ при помощи единственной бесконечно удалённой точки^[англ.].

Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов

F_{i,j}(x_{0},\ldots ,x_{n})=x_{i}x_{j}-x_{i+1}x_{j-1},

где $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ — однородные координаты на $\mathbb {P} ^{n}$ . Рассматривать все эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например, $F_{i,i}$ и $F_{1,n-1}.$

Альтернативная параметризация

Пусть $[a_{i}:b_{i}]$ — $n+1$ различных точек на $\mathbb {P} ^{1}.$ Тогда многочлен

G(s,t)=\Pi _{i=0}^{n}(a_{i}s-b_{i}t)

является однородным многочленом степени $n+1$ с различными корнями. Многочлены

H_{i}(s,t)={\frac {G(s,t)}{(a_{i}s-b_{i}t)}}

образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение

[s:t]\mapsto [H_{0}(s,t):H_{1}(s,t):\ldots :H_{n}(s,t)]

также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно, мономы $s^{n},s^{n-1}t,s^{n-2}t^{2},\ldots ,t^{n}$ являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести линейным преобразованием в любой другой базис.

Данное отображение отправляет нули многочлена $G(s,t)$ в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена $G.$

Свойства

Любые $n+1$ точки на рациональной нормальной кривой в $\mathbb {P} ^{n}$ линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
Для любых $n+3$ точек в $\mathbb {P} ^{n},$ таких что любые $n+1$ из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести $n+1$ из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в $[c_{0}:c_{1}:\ldots :c_{n}],[d_{0}:d_{1}:\ldots :d_{n}],$ в качестве многочлена $G$ выбрать многочлен, зануляющийся в точках $[a_{i}:b_{1}]=[c_{i}^{-1}:d_{i}^{-1}].$
Рациональная нормальная кривая в случае $n>2$ не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.^[1]