Клелия (кривая) (Tlylnx (tjnfgx))

Клелия при $c=1/4.$

Проекции клелий на экваториальную плоскость при различных $c.$ Части кривых на тыльной стороне сферы изображены пунктирными линиями.

Кле́лия — пространственная геометрическая фигура: кривая на сфере, задаваемая в сферических координатах уравнением

$\varphi =c\,\theta ,$

где переменные $\varphi$ и $\theta$ — соответственно азимутальный и зенитный углы, $c>0$ — некоторая константа.

Клелии были впервые описаны итальянским математиком Гвидо Гранди во второй части работы «Геометрические цветы» («Flores geometrici», 1728) и названы им в честь современницы, математика Клелии Борромео.

Проекции клелий на экваториальную плоскость $\theta =\pi /2$ являются розами — плоскими кривыми, также открытыми Гранди и описанными им в первой части той же работы.

Доказательство

Запишем уравнение клелии в виде $\theta ={\frac {\varphi }{c}}$ и возьмём от обеих частей синус: $\sin \theta =\sin {\frac {\varphi }{c}}.$

Перейдём к цилиндрическим координатам: с учётом $\rho =r\sin \theta$ уравнение кривой можно записать как ${\frac {\rho }{r}}=\sin {\frac {\varphi }{c}}.$

Величина $r$ на сфере постоянна; обозначим её $r=a.$ Обозначим ${\frac {1}{c}}=k.$ Обе константы положительны.

Получаем $\rho =a\sin k\varphi$ — уравнение розы в полярных координатах.

На практике форму клелий имеют круговые полярные орбиты спутников. При этом константа $c$ равна отношению периода обращения спутника к периоду осевого вращения центрального тела.

Частным случаем клелии, при $c=1,$ является кривая Вивиани. Она соответствует синхронной орбите.

Всякая клелия проходит через северный $\left(\theta =0\right)$ и южный $\left(\theta =\pi \right)$ полюса сферы. При рациональном $c$ кривая замкнута и имеет конечную длину, при иррациональном — не замкнута и её длина бесконечна.

Ссылки

• Clelia на сайте Mathcurve.com (Архивная копия от 2 января 2021 на Wayback Machine)

Клелии. На рисунках $m=1/c.$