Аффинная эквивалентность (Gssnuugx ztfnfglyumukvm,)

Два множества $A,B\in \mathbb {R} ^{n}$ называются аффинно эквивалентными, если существует аффинное преобразование $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ , переводящее $A$ в $B$ , т.е. $f(A)=B$ .

Аффинная эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ множества $\mathbb {R} ^{n}$ и, в частности, на любом подмножестве $X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ .

Например, если $X\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})$ —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то аффинная эквивалентность разбивает его на четыре класса эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные коники:

$x^{2}+y^{2}\,=1$ — вещественная единичная окружность;
$x^{2}-y^{2}\,=1$ — равнобочная гипербола;
$y=x^{2}$ — стандартная парабола;
$x^{2}+y^{2}\,=-1$ — мнимая окружность.

Другими словами, аффинная эквивалентность доставляет аффинную классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости аффинно эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

См. также