Квазитрохоида (Tfg[nmjk]kn;g)

Квазитрохоида (от лат. quasi — нечто вроде, как будто, и греч. τροχοειδής — колесообразный) — плоская трансцендентная кривая, по форме напоминающая трохоиду, но отличающаяся тем, что центр вращения перемещается по произвольной траектории, радиус и частота вращения могут изменяться во времени по любому закону.

Квазитрохоиды имеют большое значение и широко используются в технике. Например, кривые, образуемые круговым движением и одновременно плоско-параллельным перемещением фрезы в станке с ЧПУ; движение летательного аппарата, перемещающегося в пространстве и вращающегося вокруг своей оси; траектория заряженной частицы в неоднородном и нестационарном электромагнитном поле.

Уравнение обычной трохоиды на плоскости записывается как:

$\left\{{\begin{matrix}x(t)=x_{0}+v_{x}t+R\cos(\omega t+\theta _{0})\\y(t)=y_{0}+v_{y}t+R\sin(\omega t+\theta _{0})\end{matrix}}\right.$ (3)

где: $x_{0},y_{0}$ — координаты начального положения центра вращения; $v_{x},v_{y}$ — проекции скорости центра вращения; $\omega$ — циклическая частота вращения; $\theta _{0}$ — начальная фаза вращения.

Уравнение квазитрохоиды на плоскости записывается как:

$\left\{{\begin{matrix}x(t)=x_{c}(t)+R(t)\cos(\theta (t))\\y(t)=y_{c}(t)+R(t)\sin(\theta (t))\end{matrix}}\right.$ (2)

где: $x_{c}(t),y_{c}(t)$ — координаты поступательной составляющей (центра вращения); $R(t)$ — радиус вращения; $\theta (t)$ — фаза вращения; $d\theta /dt=\omega (t)$ — угловая частота вращения; Нестационарные параметры $x_{c}(t),y_{c}(t),R(t),\theta (t)$ сигнала (2) в общем случае могут изменяться совершенно произвольно.

Для упрощения используется комплексная форма записи параметрических уравнений (2). Полагая $z(t)=x(t)+iy(t)$ , можно записать:

$z(t)=z_{c}(t)+R(t)\exp \left(i\theta (t)\right)$ (3)

Литература

Савёлов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Изд. Физматлит, 1960
Карамов С. В. Оценка параметров и прогноз движения вращающегося объекта, имеющего трохоидальную траекторию по видеоизображению // Труды XVI международной конференции по компьютерной графике и её приложениям «Графикон-2006». Новосибирск, 2006. С. 347—350.
Карамов С. В. Алгоритм оценки параметров и экстраполяции двухмерного сигнала, имеющего гармоническую составляющую // 9-я Международная конференция и выставка «Цифровая обработка сигналов и её применение» г. Москва, 2007 г. Т.2, -С 505—508.

См. также