Кривая Вивиани (Tjnfgx Fnfngun)

Кривая Вивиани — пересечение сферы и цилиндра

Кривая Вивиани — пространственная кривая, пересечение кругового цилиндра со сферой с центром на поверхности цилиндра и радиусом, равным диаметру цилиндра.

Названа в честь Винченцо Вивиани, который дал в 1692 году детальное исследование этой кривой и впервые отметил, что ограниченные ею на полусфере две области допускают простую квадратуру: их общая площадь такова, что поверхность оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы. До Вивиани эту кривую изучали Де ла Лубер, Симон и Жиль Роберваль (1666).

Уравнения

• Кривая Вивиани является линией пересечения поверхности цилиндра

  $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}$

со сферой вдвое большего радиуса, центр которой лежит на поверхности цилиндра:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\cdot a^{2}\,.$

• Параметрическое уравнение:

  $\left(a\cdot (1+\cos t),\ a\cdot \sin t,\ 2\cdot a\cdot \sin {\tfrac {t}{2}}\right).$

• Уравнения проекций на плоскости $(x\,y)$, $(y\,z)$, $(x\,z)$:

  $x(z)=2\,r-{\dfrac {z^{2}}{2\,r}}\,,$

  $y(z)=\pm z\,{\sqrt {1-{\dfrac {z^{2}}{4\,r^{2}}}}}\,,$

  $y(x)=\pm {\sqrt {x(2\,r-x)}}\,,$

  $z(x)=\pm {\sqrt {2\,r\,(2\,r-x)}}\,,$

  $x(y)=r\pm {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\,,$

  $z(y)=\pm {\sqrt {2\,r^{2}\pm 2\,r\,{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}}\,.$

Свойства

• Проекция кривой Вивиани на общую касательную цилиндра и сферы является лемнискатой Жероно.
• Кривая Вивиани на пересекающейся с цилиндром полусфере отделяет такие две области, что площадь оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы.

Доказательство

Найдём площадь поверхности $f(x,y)={\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2}}}$, ограниченной кривой Вивиани, интегрированием в координатах $(x\,y)$.

Площадь поверхности определяется привычным образом через интеграл:

$S_{\text{V.C.}}=\int \limits _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,,$

где $\Omega$ — область, ограниченная кривой Вивиани.

Вычислим подынтегральное выражение:

${\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}={\dfrac {2\,r}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}\,.$

Продолжая вычисление и учитывая симметричность области интегрирования относительно оси $x\,$ (получая таким образом четыре одинаковых части), находим:

$S_{\text{V.C.}}=4\cdot 2\,r\,\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\int \limits _{0}^{\sqrt {x\,(2\,r-x)}}\mathrm {d} y\,{\dfrac {1}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}=8\,r\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\,\mathrm {arctg} {\sqrt {\dfrac {x}{2\,r}}}=8\,r\,(-2\,r+4\,r\,\mathrm {arctg} \,1)=8\,\pi \,r^{2}-16\,r^{2}={\dfrac {1}{2}}\,\pi \,(4\,r)^{2}-(4\,r)^{2}\,.$

Первое слагаемое в получившемся выражении представляет собой площадь полусферы диаметра $4\,r$, второе слагаемое — площадь квадрата со стороной, равной этому же диаметру.

Таким образом, разность площадей полусферы и рассматриваемой поверхности равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы:

$S_{\text{hemisphere}}-S_{\text{V.C.}}=(4\,r)^{2}\,,$

что и требовалось доказать.

Литература

• Берже М. Геометрия, тт. 1—2. М: Мир, 1984.
• Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bologna, 1925.
• Roero C.S. L'intérêt international d'un problème proposé par Viviani, Actes de l’Univ. d'Été Hist. des Math., I.R.E.M. Toulouse, 1986.
• Roero C.S. The Italian challange to Leibnitzian calculus in 1692. Leibnitz and Viviani: a comparison of two epistemologies, V Int. Congress Leibnitz, Hannover, 1988.