Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция
f
{\displaystyle f}
действительных или комплексных чисел , которая может быть формально представлена в следующем виде:
f
(
x
)
=
∫
c
x
R
(
t
,
P
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle f(x)=\int \limits _{c}^{x}\!R(t,\;P(t))\,dt}
где
R
{\displaystyle R}
рациональная функция двух аргументов,
P
{\displaystyle P}
квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени, не имеющего кратных корней ,
c
{\displaystyle c}
В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях . Исключением являются случаи, когда
P
{\displaystyle P}
R
(
x
,
y
)
{\displaystyle R(x,\;y)}
y
{\displaystyle y}
Однако для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов , называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).
В интегральном исчислении эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно , а позднее — Леонардом Эйлером .
Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:
α
{\displaystyle \alpha }
модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой
o
ε
{\displaystyle o\!\varepsilon }
k
=
sin
α
{\displaystyle k=\sin \alpha }
модуль эллиптического интеграла ;
m
=
k
2
=
sin
2
α
{\displaystyle m=k^{2}=\sin ^{2}\alpha }
параметр .Следует отметить, что нормальные эллиптические интегралы Лежандра, как полные, так и неполные, являются чётными функциями модуля
k
{\displaystyle k}
α
{\displaystyle \alpha }
−
1
≤
k
≤
+
1.
{\displaystyle -1\leq k\leq +1.}
Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).
Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.
Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:
x
=
sin
φ
=
sn
u
,
{\displaystyle x=\sin \varphi =\operatorname {sn} u,}
sn
{\displaystyle \operatorname {sn} }
эллиптическая функция Якоби ;
φ
=
arcsin
x
=
am
u
{\displaystyle \varphi =\arcsin x=\operatorname {am} u}
амплитуда ;Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что
u
{\displaystyle u}
m
{\displaystyle m}
u
{\displaystyle u}
cos
φ
=
cn
u
{\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u}
и
1
−
m
sin
2
φ
=
dn
u
.
{\displaystyle {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}
Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как
Δ
(
φ
)
=
dn
u
.
{\displaystyle \Delta (\varphi )=\operatorname {dn} u.}
Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр , дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол . Их вводят следующим способом:
m
1
=
1
−
m
{\displaystyle m_{1}\,=\,1-m}
дополнительный параметр ;
k
′
=
1
−
k
2
{\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}
дополнительный модуль ;
k
′
2
=
m
1
{\displaystyle {k'}^{2}=m_{1}}
дополнительный модулярный угол .Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода
F
{\displaystyle F}
F
(
φ
,
k
)
=
∫
0
φ
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
{\displaystyle F(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}
или, в форме Якоби,
F
(
x
,
k
)
=
∫
0
x
d
z
(
1
−
z
2
)
(
1
−
k
2
z
2
)
{\displaystyle F(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})}}}}
Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта , за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение
F
(
φ
,
sin
α
)
=
F
(
φ
∣
sin
2
α
)
=
F
(
φ
∖
α
)
{\displaystyle F(\varphi ,\;\sin \alpha )=F(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )}
F
(
φ
∖
0
)
=
φ
{\displaystyle F(\varphi \setminus 0)=\varphi }
F
(
i
φ
∖
0
)
=
i
φ
{\displaystyle F(i\varphi \setminus 0)=i\varphi }
F
(
φ
∖
90
∘
)
=
ln
(
sec
φ
+
tg
φ
)
=
ln
tg
(
π
4
+
φ
2
)
{\displaystyle F(\varphi \setminus 90^{\circ })=\ln \left(\operatorname {sec} \varphi +\operatorname {tg} \varphi \right)=\ln \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)}
F
(
i
φ
∖
90
∘
)
=
i
arctg
(
sh
φ
)
{\displaystyle F(i\varphi \setminus 90^{\circ })=i\,\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} \varphi \right)}
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E
E
(
φ
,
k
)
=
∫
0
φ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
{\displaystyle E(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }
или, используя подстановку
x
=
sin
φ
,
{\displaystyle x=\sin \varphi ,}
E
(
x
,
k
)
=
∫
0
x
1
−
k
2
z
2
1
−
z
2
d
z
.
{\displaystyle E(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {\sqrt {1-k^{2}z^{2}}}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz.}
E
(
φ
,
0
)
=
φ
{\displaystyle E(\varphi ,0)=\varphi }
E
(
i
φ
,
0
)
=
i
φ
{\displaystyle E(i\varphi ,0)=i\varphi }
E
(
φ
,
1
)
=
sin
φ
{\displaystyle E(\varphi ,1)=\sin \varphi }
E
(
i
φ
,
1
)
=
i
sh
φ
{\displaystyle E(i\varphi ,1)=i\,\operatorname {sh} \varphi }
Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода
Π
{\displaystyle \Pi }
Π
(
c
;
φ
,
k
)
=
∫
0
φ
d
θ
(
1
+
c
sin
2
θ
)
1
−
k
2
sin
2
θ
{\displaystyle \Pi (c;\;\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{(1+c\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}}
или
Π
(
c
;
x
,
k
)
=
∫
0
x
d
x
(
1
+
c
x
2
)
(
1
−
k
2
x
2
)
(
1
−
x
2
)
{\displaystyle \Pi (c;\;x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}}
Число
c
{\displaystyle c}
характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла
Π
(
−
1
;
π
/
2
∣
m
)
{\displaystyle \Pi (-1;\;\pi /2\mid m)}
m
{\displaystyle m}
Введём дополнительные обозначения:
ε
=
arcsin
n
sin
2
α
,
0
⩽
ε
⩽
π
2
{\displaystyle \varepsilon =\operatorname {arcsin} \,{\sqrt {\frac {n}{\sin ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac {\pi }{2}}}
β
=
π
F
(
ε
∖
α
)
2
K
(
α
)
{\displaystyle \beta ={\frac {\pi \,F(\varepsilon \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )}}}
q
=
q
(
α
)
{\displaystyle q=q(\alpha )}
ν
=
π
F
(
φ
∖
α
)
2
K
(
α
)
{\displaystyle \nu ={\frac {\pi \,F(\varphi \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )}}}
δ
1
=
c
(
1
−
c
)
(
sin
2
α
−
c
)
{\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(\sin ^{2}\alpha -c)}}}}
K
(
α
)
{\displaystyle K(\alpha )}
полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода .Тогда можно записать интеграл через тета-функции Якоби:
Π
(
c
;
φ
∖
α
)
=
δ
1
(
−
1
2
ln
ϑ
4
(
ν
+
β
)
ϑ
4
(
ν
−
β
)
+
ν
ϑ
1
′
(
β
)
ϑ
1
(
β
)
)
,
{\displaystyle \Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{1}\left(-{\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {\vartheta _{4}(\nu +\beta )}{\vartheta _{4}(\nu -\beta )}}+\nu \,{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )}}\right),}
где
1
2
ln
ϑ
4
(
ν
+
β
)
ϑ
4
(
ν
−
β
)
=
2
∑
s
=
1
∞
q
s
s
(
1
−
q
2
s
)
sin
2
s
ν
sin
2
s
β
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {\vartheta _{4}(\nu +\beta )}{\vartheta _{4}(\nu -\beta )}}=2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {q^{s}}{s(1-q^{2s})}}\sin {2s\nu }\,\sin \,{2s\beta }}
и
ϑ
1
′
(
β
)
ϑ
1
(
β
)
=
ctg
β
+
4
∑
s
=
1
∞
q
2
s
1
−
2
q
2
s
cos
2
β
+
q
4
s
sin
2
β
.
{\displaystyle {\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )}}=\operatorname {ctg} \,\beta +4\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {q^{2s}}{1-2q^{2s}\cos {2\beta }+q^{4s}}}\sin {2\beta }.}
С помощью подстановки
C
=
sin
2
α
c
{\displaystyle C={\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}}
0
<
C
<
sin
2
α
.
{\displaystyle 0<C<\sin ^{2}\alpha .}
Введём дополнительно величину
p
1
=
(
c
−
1
)
(
1
−
sin
2
α
c
)
.
{\displaystyle p_{1}={\sqrt {(c-1)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}\right)}}.}
Тогда:
Π
(
c
;
φ
∖
α
)
=
−
Π
(
C
;
φ
∖
α
)
+
F
(
φ
∖
α
)
+
1
2
p
1
ln
(
Δ
(
φ
)
+
p
1
tg
φ
Δ
(
φ
)
−
p
1
tg
φ
)
.
{\displaystyle \Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=-\Pi (C;\;\varphi \setminus \alpha )+F(\varphi \setminus \alpha )+{\frac {1}{2p_{1}}}\ln \left({\frac {\Delta (\varphi )+p_{1}\operatorname {tg} \,\varphi }{\Delta (\varphi )-p_{1}\operatorname {tg} \,\varphi }}\right).}
Введем дополнительные обозначения:
ε
=
arcsin
1
−
n
cos
2
α
,
0
⩽
ε
⩽
π
2
;
{\displaystyle \varepsilon =\operatorname {arcsin} \,{\sqrt {\frac {1-n}{\cos ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac {\pi }{2}};}
β
=
π
F
(
ε
∖
90
∘
−
α
)
2
K
(
α
)
;
{\displaystyle \beta ={\frac {\pi \,F(\varepsilon \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{2\,K(\alpha )}};}
q
=
q
(
α
)
;
{\displaystyle q=q(\alpha );}
ν
=
π
F
(
φ
∖
α
)
2
K
(
α
)
;
{\displaystyle \nu ={\frac {\pi \,F(\varphi \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )}};}
δ
2
=
c
(
1
−
c
)
(
c
−
sin
2
α
)
.
{\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(c-\sin ^{2}\alpha )}}}.}
Тогда эллиптический интеграл равен:
Π
(
c
;
φ
∖
α
)
=
δ
2
(
λ
−
4
μ
ν
)
,
{\displaystyle \Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{2}(\lambda -4\mu \nu ),}
где
λ
=
arctg
(
th
β
tg
ν
)
+
2
∑
s
=
1
∞
(
−
1
)
s
−
1
s
q
2
s
1
−
q
2
s
sin
2
s
ν
sh
2
s
β
{\displaystyle \lambda =\operatorname {arctg} \,(\operatorname {th} \,\beta \,\operatorname {tg} \,\nu )+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{s-1}}{s}}{\frac {q^{2s}}{1-q^{2s}}}\sin {2s\nu }\,\operatorname {sh} \,{2s\beta }}
и
μ
=
∑
s
=
1
∞
s
q
s
2
sh
2
s
β
1
+
∑
s
=
1
∞
q
s
2
ch
2
s
β
{\displaystyle \mu ={\dfrac {\sum \limits _{s=1}^{\infty }sq^{s^{2}}\,\operatorname {sh} \,{2s\beta }}{1+\sum \limits _{s=1}^{\infty }q^{s^{2}}\,\operatorname {ch} \,{2s\beta }}}}
С помощью подстановки
C
=
sin
2
α
−
c
1
−
c
{\displaystyle C={\frac {\sin ^{2}\alpha -c}{1-c}}}
sin
2
α
<
C
<
1.
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha \ <C<1.}
Введем дополнительно величину
p
2
=
−
c
(
sin
2
α
−
c
)
1
−
c
.
{\displaystyle p_{2}={\sqrt {\frac {-c\,(\sin ^{2}\alpha -c)}{1-c}}}.}
Тогда:
(
1
−
c
)
(
1
−
sin
2
α
c
)
Π
(
c
;
φ
∖
α
)
=
(
1
−
C
)
(
1
−
sin
2
α
C
)
Π
(
C
;
φ
∖
α
)
+
sin
2
α
F
(
φ
∖
α
)
p
2
+
arctg
(
p
2
2
sin
2
φ
Δ
(
φ
)
)
{\displaystyle {\sqrt {(1-c)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}\right)}}\,\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )={\sqrt {(1-C)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{C}}\right)}}\,\Pi (C;\;\varphi \setminus \alpha )\,+\,{\frac {\sin ^{2}\alpha \,F(\varphi \setminus \alpha )}{p_{2}}}\,+\,\operatorname {arctg} \,\left({\frac {p_{2}}{2}}{\frac {\sin {2\varphi }}{\Delta (\varphi )}}\right)}
В случае, если амплитуда
φ
{\displaystyle \varphi }
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:
K
(
k
)
=
∫
0
π
/
2
d
φ
1
−
k
2
sin
2
φ
=
F
(
π
/
2
,
k
)
{\displaystyle K(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}=F(\pi /2,\;k)}
или
K
(
k
)
=
∫
0
1
d
x
(
1
−
x
2
)
(
1
−
k
2
x
2
)
.
{\displaystyle K(k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}.}
Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда :
K
(
k
)
=
π
2
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
n
!
2
)
2
k
2
n
,
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right)^{2}k^{2n},}
что эквивалентно выражению
K
(
k
)
=
π
2
(
1
+
(
1
2
)
2
k
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
k
4
+
…
+
(
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
)
2
k
2
n
+
…
)
,
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\ldots +\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\ldots \right),}
где
n
!
!
{\displaystyle n!!}
двойной факториал .
Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:
K
(
k
)
=
π
2
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
1
;
k
2
)
.
{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{2}};\;1;\;k^{2}\right).}
K
(
0
)
=
π
2
.
{\displaystyle K(0)={\frac {\pi }{2}}.}
K
(
1
)
=
∞
.
{\displaystyle K(1)=\infty .}
K
(
2
2
)
=
Γ
(
1
4
)
2
4
π
.
{\displaystyle K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{4{\sqrt {\pi }}}}.}
K
(
6
−
2
4
)
=
2
−
7
3
3
1
4
Γ
(
1
3
)
3
π
.
{\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{3}}}3^{\frac {1}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.}
K
(
6
+
2
4
)
=
2
−
7
3
3
3
4
Γ
(
1
3
)
3
π
.
{\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{3}}}3^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.}
sn
K
=
sin
π
2
=
1.
{\displaystyle \operatorname {sn} \,K=\sin {\frac {\pi }{2}}=1.}
cn
K
=
cos
π
2
=
0.
{\displaystyle \operatorname {cn} \,K=\cos {\frac {\pi }{2}}=0.}
dn
K
=
1
−
k
2
=
k
′
.
{\displaystyle \operatorname {dn} \,K={\sqrt {1-k^{2}}}=k'.}
d
K
(
k
)
d
k
=
E
(
k
)
k
(
1
−
k
2
)
−
K
(
k
)
k
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)}{k(1-k^{2})}}-{\frac {K(k)}{k}},}
где
E
(
k
)
{\displaystyle E(k)}
Полный эллиптический интеграл 1-го рода является решением дифференциального уравнения
d
d
k
(
k
(
1
−
k
2
)
d
K
(
k
)
d
k
)
=
k
K
(
k
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=kK(k).}
Вторым решением этого уравнения является
K
(
1
−
k
2
)
.
{\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).}
В случае, если амплитуда
φ
{\displaystyle \varphi }
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:
E
(
k
)
=
∫
0
π
/
2
1
−
k
2
sin
2
φ
d
φ
=
E
(
π
/
2
,
k
)
{\displaystyle E(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi =E(\pi /2,\;k)}
или
E
(
k
)
=
∫
0
1
1
−
k
2
x
2
1
−
x
2
d
x
.
{\displaystyle E(k)=\int \limits _{0}^{1}\,{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx.}
Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда :
E
(
k
)
=
π
2
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
n
!
2
)
2
k
2
n
1
−
2
n
,
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}
что эквивалентно выражению
E
(
k
)
=
π
2
(
1
−
(
1
2
)
2
k
2
1
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
k
4
3
−
…
−
(
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
)
2
k
2
n
2
n
−
1
−
…
)
.
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\ldots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\ldots \right).}
Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:
E
(
k
)
=
π
2
2
F
1
(
1
2
,
−
1
2
;
1
;
k
2
)
.
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},\;-{\frac {1}{2}};\;1;\;k^{2}\right).}
E
(
0
)
=
π
2
.
{\displaystyle E\left(0\right)={\frac {\pi }{2}}.}
E
(
1
)
=
1.
{\displaystyle E\left(1\right)=1.}
E
(
2
2
)
=
π
3
2
Γ
(
1
4
)
−
2
+
Γ
(
1
4
)
2
8
π
.
{\displaystyle E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)=\pi ^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{-2}+{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{8{\sqrt {\pi }}}}.}
E
(
6
−
2
4
)
=
2
1
3
3
−
3
4
π
2
Γ
(
1
3
)
−
3
+
2
−
10
3
3
−
1
4
3
+
1
π
Γ
(
1
3
)
3
.
{\displaystyle E\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{-{\frac {3}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac {10}{3}}}3^{-{\frac {1}{4}}}{\frac {{\sqrt {3}}+1}{\pi }}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}.}
E
(
6
+
2
4
)
=
2
1
3
3
−
1
4
π
2
Γ
(
1
3
)
−
3
+
2
−
10
3
3
1
4
3
−
1
π
Γ
(
1
3
)
3
.
{\displaystyle E\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{-{\frac {1}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac {10}{3}}}3^{\frac {1}{4}}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\pi }}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}.}
d
E
(
k
)
d
k
=
E
(
k
)
−
K
(
k
)
k
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}.}
Полный эллиптический интеграл 2-го рода является решением дифференциального уравнения
(
k
2
−
1
)
d
d
k
(
k
d
E
(
k
)
d
k
)
=
k
E
(
k
)
.
{\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k).}
Вторым решением этого уравнения является функция
E
(
1
−
k
2
)
−
K
(
1
−
k
2
)
.
{\displaystyle E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).}
Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и 2-го рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:
Π
(
c
,
k
)
=
Π
(
c
;
π
/
2
,
k
)
=
∫
0
π
/
2
d
φ
(
1
+
c
sin
2
φ
)
1
−
k
2
sin
2
φ
{\displaystyle \Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;\pi /2,\;k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{(1+c\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}}
или
Π
(
c
,
k
)
=
Π
(
c
;
1
,
k
)
=
∫
0
1
d
x
(
1
+
c
x
2
)
(
1
−
k
2
x
2
)
(
1
−
x
2
)
.
{\displaystyle \Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;1,\;k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}.}
Π
(
c
∖
α
)
=
K
(
α
)
+
δ
1
K
(
α
)
Z
(
ε
∖
α
)
{\displaystyle \Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )+\delta _{1}K(\alpha )\mathrm {Z} (\varepsilon \setminus \alpha )}
где
Z
(
ε
∖
α
)
{\displaystyle \mathrm {Z} (\varepsilon \setminus \alpha )}
дзета-функция Якоби .
Π
(
c
∖
α
)
=
K
(
α
)
−
Π
(
C
∖
α
)
.
{\displaystyle \Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )-\Pi (C\setminus \alpha ).}
Π
(
c
∖
α
)
=
K
(
α
)
+
1
2
π
δ
2
(
1
−
Λ
0
(
ε
∖
α
)
)
,
{\displaystyle \Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )+{\frac {1}{2}}\pi \delta _{2}\left(1-\Lambda _{0}(\varepsilon \setminus \alpha )\right),}
где
Λ
0
(
ε
∖
α
)
{\displaystyle \Lambda _{0}(\varepsilon \setminus \alpha )}
лямбда-функция Хеймана .
Π
(
c
∖
α
)
=
−
c
cos
2
α
Π
(
C
∖
α
)
(
1
−
c
)
(
sin
2
α
−
n
)
+
sin
2
α
sin
2
α
−
c
K
(
α
)
.
{\displaystyle \Pi (c\setminus \alpha )=-{\frac {c\cos ^{2}\alpha \,\Pi (C\setminus \alpha )}{(1-c)(\sin ^{2}\alpha -n)}}+{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha -c}}K(\alpha ).}
∂
Π
(
c
,
k
)
∂
c
=
1
2
(
k
2
−
c
)
(
c
−
1
)
(
E
(
k
)
+
1
c
(
k
2
−
c
)
K
(
k
)
+
1
c
(
c
2
−
k
2
)
Π
(
c
,
k
)
)
.
∂
Π
(
c
,
k
)
∂
k
=
k
c
−
k
2
(
E
(
k
)
k
2
−
1
+
Π
(
c
,
k
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial c}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-c\right)(c-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{c}}\left(k^{2}-c\right)K(k)+{\frac {1}{c}}\left(c^{2}-k^{2}\right)\Pi (c,k)\right).\\[10px]{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{c-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (c,k)\right).\end{aligned}}}
Z
(
φ
∖
α
)
=
E
(
φ
∖
α
)
−
E
(
α
)
F
(
φ
∖
α
)
K
(
α
)
;
{\displaystyle Z(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi \setminus \alpha )-{\frac {E(\alpha )F(\varphi \setminus \alpha )}{K(\alpha )}};}
Λ
0
(
φ
∖
α
)
=
F
(
φ
∖
90
∘
−
α
)
K
′
(
α
)
+
2
π
K
(
α
)
Z
(
φ
∖
90
∘
−
α
)
{\displaystyle \Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{K'(\alpha )}}+{\frac {2}{\pi }}K(\alpha )\,Z(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )}
или
Λ
0
(
φ
∖
α
)
=
2
π
(
K
(
α
)
E
(
φ
∖
90
∘
−
α
)
−
(
K
(
α
)
−
E
(
α
)
)
F
(
φ
∖
90
∘
−
α
)
)
.
{\displaystyle \Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {2}{\pi }}\left(K(\alpha )\,E(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )-\left(K(\alpha )-E(\alpha )\right)\,F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )\right).}
Милн-Томсон Л. Эллиптические интегралы // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М. : Наука, 1979. — С. 401—441. — 832 с. — 50 000 экз. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции . — Т. 3 (гл. 13).Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. (гл. 3, 7).Эллиптические функции (недоступная ссылка) , Процедуры для Matlab .Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial c}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-c\right)(c-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{c}}\left(k^{2}-c\right)K(k)+{\frac {1}{c}}\left(c^{2}-k^{2}\right)\Pi (c,k)\right).\\[10px]{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{c-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (c,k)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37433facb6d5e9c8aa15c4feab8cd3f60718b8f)
