Винтовая линия (Fnumkfgx lnunx)

Правая винтовая линия (cos t, sin t, t) с t = 0 до 4π

Кристаллическая правовинтовая молекулярная структура , по работе сотрудников Lehn, из Helv. Chim. Acta., 2003, 86, 1598—1624

Естественное закручивание усиков винограда (левая спирально-винтовая)

Винтовая ли́ния — кривая в трёхмерном пространстве, расположенная на круглом цилиндре или круглом конусе и пересекающая образующие под одинаковым углом.

Цилиндрическая винтовая линия задаётся в прямоугольных координатах параметрическими уравнениями вида:

$t\mapsto (a\cdot \cos t,a\cdot \sin t,b\cdot t)$,

или в иной записи:

$x(t)=a\cdot \cos t,$

$y(t)=a\cdot \sin t,$

$z(t)=b\cdot t$,

где $a,b$ — вещественные константы, не равные нулю.

Проекция цилиндрической винтовой линии на плоскость $x,y$ представляет собой окружность.

Коническая винтовая линия (также спирально-винтовая линия), определяется параметрическими уравнениями вида:

$t\mapsto (a\cdot t\cdot \cos t,a\cdot t\cdot \sin t,b\cdot t)$,

или:

$x(t)=a\cdot t\cdot \cos t$

$y(t)=a\cdot t\cdot \sin t$

$z(t)=b\cdot t$.

Проекция спирально-винтовой линии на плоскость $x,y$ — спираль Архимеда.

Тело, имеющее форму винтовой линии, в разговорной речи часто называют спиралью, что не совсем корректно, так как в математике спиралями называют некоторый класс плоских кривых.

«Правые» и «левые» винтовые линии

Существуют зеркально-симметричные винтовые линии. «Правыми» винтовыми линиями принято называть линии, порождаемые по «правилу буравчика» или по «правилу правой руки». Это свойство винтовых линий называют хиральностью — «правая хиральность» и «левая хиральность». Пару зеркально-симметричных винтовых линий называют энантиоморфами. Если коэффициент $b$ в параметрическом задании цилиндрической винтовой линии в правой тройке координат положителен, то такую линию называют «правой», если отрицателен — то «левой».

Подавляющее число резьб, применяемых в машиностроении, у крепёжных метизов имеют «правую» резьбу, или «правую» хиральность, то есть завинчивание производится по часовой стрелке. «Левые» резьбы используются очень редко — в специальных применениях, например для предотвращения самоотвинчивания шкивов с валов механизмов.

Элементы и свойства

Величину $2\cdot \pi \cdot b$ называют шагом винтовой линии, геометрически это расстояние между соседними витками линии, отсчитанное вдоль образующей цилиндра.

Все винтовые линии являются линиями откоса, то есть касательные к ним образуют постоянный угол с некоторым постоянным направлением. Как и у всякой линии откоса, у цилиндрической винтовой линии кривизна $C$ и кручение $S$ постоянны в любой точке и описываются выражениями

$C={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}$,

$S={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}$.

Элемент длины

$dL=dt\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Угол $\Phi$ между касательной к цилиндрической винтовой линии и касательной к окружности цилиндра в этой же точке называют геликальным углом, он равен:

$\Phi =\arctan({\tfrac {b}{a}})$.

Примеры тел в виде винтовой линии

Форму винтовой линии имеют, например, следующие молекулы:

• ДНК — двойная спираль (двойной винт),
• РНК,
• актиновая нить — двойная спираль,
• кальмодулин,
• молекулы, имеющие хиральность,
• аспарагиназа.

Формы винтовых линий имеют также многие детали машин и механизмов — пружины, часть винтовых свёрл, соединительные винты, болты, шпильки, винты (шнеки) мясорубок, экструдеров, винт Архимеда, шнеки снегоуборщиков и другие (реализуют винтовую поверхность — геликоид).

Правовинтовая пружина