Торическое сечение (Mkjncyvtky vycyuny)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Торическое сечение — сечение тора произвольной плоскостью. Частные случаи сечений тора, кривые Персея, были исследованы ещё около 150 года до н. э. древнегреческим геометром Персеем[1], общий случай изучен Жаном Дарбу XIX веке[2].

Торическое сечение — это плоская кривая четвёртого порядка[2] вида:

.

Пять параметров уравнения определяются через два параметра тора — радиусы малой и большой окружностей и [3] и через три параметра, задающих секущую плоскость[4]. Если плоскость не пересекает тор, то уравнение не имеет действительных решений.

Например, сечение тора с параметрами и () бикасательной плоскостью задаётся формулой:

;

формула может быть разложена в произведение формул для двух окружностей.

Сечения тора плоскостью параллельной его оси (перпендикулярной плоскости вращения окружности) называются кривыми Персея или спирическими сечениями. Частные случаи кривой Персея — лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка»). Сечение тора плоскостью, перпендикулярной его оси, является кольцом.

Наиболее интересным косым сечением тора является сечение бикасательной плоскостью — окружности Вилларсо. Неочевидным образом это сечение представляет собой две пересекающиеся окружности. Точки их пересечения совпадают с точками касания секущей плоскости и тора[5].

Примечания

[править | править код]
  1. Brieskorn, Egbert; Knörrer, Horst (1986), "Origin and generation of curves", Plane algebraic curves, Basel: Birkhäuser Verlag, pp. 2—65, doi:10.1007/978-3-0348-5097-1, ISBN 3-7643-1769-8, MR 0886476.
  2. 1 2 Sym, Antoni (2009), [[1] "Darboux's greatest love"], Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 42 (40): 404001, doi:10.1088/1751-8113/42/40/404001 {{citation}}: Проверьте значение |URL= (справка)
  3. Тор можно разместить любым удобным образом в центре координат.
  4. Один параметр (поворот сечения на плоскости) можно убрать за счёт центральной симметрии тора.
  5. Schoenberg, I. J. (1985), "A direct approach to the Villarceau circles of a torus", Simon Stevin, 59 (4): 365—372, MR 0840858