Интегральное уравнение (Numyijgl,uky rjgfuyuny)
Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.
Классификация интегральных уравнений
[править | править код]Линейные интегральные уравнения
[править | править код]Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:
где — искомая функция, , — известные функции, — параметр. Функция называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить ещё на несколько видов.
Уравнения Фредгольма
[править | править код]Уравнения Фредгольма 2-го рода
[править | править код]Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:
Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: , а ядро и свободный член должны быть непрерывными: , либо удовлетворять условиям:
Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если на , то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.
Уравнения Фредгольма 1-го рода
[править | править код]Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:
при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.
Уравнения Вольтерры
[править | править код]Уравнения Вольтерры 2-го рода
[править | править код]Уравнения Вольтерры отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:
Уравнения Вольтерры 1-го рода
[править | править код]Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерры 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:
В принципе, уравнения Вольтерры можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:
Однако некоторые свойства уравнений Вольтерры не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.
Нелинейные уравнения
[править | править код]Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.
Уравнения Урысона
[править | править код]Постоянная — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.
Уравнения Гаммерштейна
[править | править код]Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:
где — фредгольмово ядро.
Уравнения Ляпунова — Лихтенштейна
[править | править код]Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:
Нелинейное уравнение Вольтерры
[править | править код]где функция непрерывна по совокупности своих переменных.
Методы решения
[править | править код]Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений, не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.
Преобразование Лапласа
[править | править код]Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций:
то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:
Например, дано такое уравнение:
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:
Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:
Метод последовательных приближений
[править | править код]Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:
Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля — Неймана:
который и является решением уравнения. — -ая степень интегрального оператора :
Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых .
Этот метод применим также и при решении уравнений Вольтерры 2-го рода. В таком случае ряд Лиувилля - Неймана сходится при любых значениях , а не только при малых.
Метод резольвент
[править | править код]Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.
Если ввести следующие обозначения:
то повторными ядрами ядра будут ядра :
Ряд, составленный из повторных ядер,
называется резольвентой ядра и является регулярно сходящимся при , и вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля — Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:
Например, для интегрального уравнения
повторными будут следующие ядра:
а резольвентой — функция
Тогда решение уравнения находится по формуле:
Метод сведения к алгебраическому уравнению
[править | править код]В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть , само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:
где . Умножив предыдущее равенство на и проинтегрировав его по на отрезке , приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел :
где и — числовые коэффициенты.
Приближённо этим методом можно решить интегральное уравнение Фредгольма с любым ядром, если в качестве вырожденного ядра, близкого к действительному, взять отрезок ряда Тейлора для функции .[1]
Замена интеграла конечной суммой
[править | править код]Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода: , где и имеют непрерывные производные нужного порядка, - заданное число. Используем квадратурную формулу: , где - точки на отрезке , а коэффициенты не зависят от вида функции . Рассмотрим исходное уравнение в точках : . Заменим интеграл в левой части уравнения с помощью квадратурной формулы: . Получаем линейную систему алгебраических уравнений с неизвестными , которые являются приближёнными значениями решения в точках . В качестве приближённого решения исходного интегрального уравнения можно принять функцию: [1].
Приложения
[править | править код]Термин «интегральное уравнение» ввёл в 1888 году П. Дюбуа-Реймон, однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в 1811 году Фурье решил задачу об обращении интеграла, которая теперь носит его имя.
Формула обращения Фурье
[править | править код]Задача состоит в нахождении неизвестной функции по известной функции :
Фурье получил выражение для функции :
Сведение задачи Коши к интегральному уравнению
[править | править код]К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерры приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:
В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по от до :
Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерры 2-го рода. Этим ещё в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:
Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:
решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде:
Тогда для исходного уравнения получается:
— интегральное уравнение Вольтерры 2-го рода.
Линейное дифференциальное уравнение -го порядка
также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерры 2-го рода.
Задача Абеля
[править | править код]Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:
где — заданная функция, а — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения). Например, к уравнению такого вида приводит задача об определении потенциальной энергии по периоду колебаний[2]
У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:
Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав своё движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой , достигла оси за время , где — заданная функция.
Если обозначить угол между касательной к траектории и осью как и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению:
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1976. — С. 214.
- ↑ Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика: учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика.. — 5-е изд. стереот.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 42-43. — 224 с. — ISBN 5-9221-0055-6.
Литература
[править | править код]- Краснов М. Л. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
- Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
- Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными, 3-е изд. — 1961.
- Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. — 2-е изд., стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 160 с. — ISBN 5-9221-0275-3.
- Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968.
![]() | В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |