Метод Годунова (Bymk; Ik;rukfg)
Метод Годунова — реализация схем сквозного счета, с помощью которых можно рассчитывать газодинамические течения с разрывами параметров внутри расчётной области. Эта схема предложена С. К. Годуновым в 1959 г. Метод Годунова — это вариант метода контрольного объёма. Потоки через боковые грани определяются из решения задачи о распаде произвольного разрыва. Поясним на примере.
Пример
[править | править код]Рассмотрим построение численного метода Годунова первого порядка точности на примере решения системы уравнений одномерной нестационарной газовой динамики, записанной в дивергентной форме:
Здесь:
- — плотность
- — давление
- — скорость
- — полная энергия в единице объёма
Заметим, что:
- Первое уравнение выражает закон сохранения массы
- Второе уравнение выражает закон сохранения импульса
- Третье уравнение выражает закон сохранения энергии
- , где — показатель адиабаты
Дифференциальная форма
[править | править код]Начальная система может быть записана в более компактной форме:
где:
- — вектор консервативных переменных
- — вектор потоков
Интегральная форма
[править | править код]Вместо дифференциальной формы уравнений выведем новую интегральную форму уравнений, более приспособленную для представления слабого решения. Здесь под слабым решением понимается обобщённая функция, определяемая интегральными равенствами, полученными из соответствующих дифференциальных уравнений и начальных условий задачи. Для этого выделим некоторый контрольный объём и проинтегрируем систему уравнений по этому объёму. Применим обобщённую теорему Стокса к полученному интегралу от дивергенции (при двух независимых переменных это будет теорема Грина, и формула Остроградского-Гаусса в трёхмерном пространстве). При этом введем направление обхода контура против часовой стрелки.
Отдельно, рассматривая уравнение неразрывности, получаем:
Для всей системы уравнений
Записывая систему в развернутом виде:
Аппроксимация
[править | править код]Произведен переход от дифференциальной формы записи исходной системы уравнений к интегральной форме. Интегральная форма записывается в виде равенства нулю интегралов по контуру (границе выделенного контрольного объёма) от векторов консервативных переменных и потоков. Контурный интеграл представляем в виде суммы интегралов по участкам (интервалам) 1-2, 2-3, 3-4, 4-1 контрольного объёма на рисунке (которого пока нет) и на каждом участке аппроксимируем интеграл с использованием метода прямоугольников как произведение подынтегрального выражения в центре интервала на длину интервала интегрирования:
с учётом равенств, справедливых для контрольного объёма, построенного по декартовой расчётной сетке:
кроме того:
находим значения вектора консервативных переменных на интервале 3-4, принадлежащем новому слою:
В данном случае величинами с полуцелыми индексами обозначены потоки сохраняемых величин через границы расчётной ячейки за время или потоки через боковые грани (2-3 и 4-1) контрольного объёма. Если скорость потока направлена в одну сторону с внешней нормалью к боковой грани, то поток отрицательный, то есть вытекает из контрольного объёма и наоборот.
В развернутом виде:
Потоки через боковые грани, и определяются из решения задачи о распаде произвольного разрыва.
Постановка граничных условий
[править | править код]Особенностью постановки и реализации граничных условий в методах контрольного объёма (в том числе и в методе Годунова) является необходимость задания или расчета потоков через грань контрольного объёма, совпадающую границей расчётной области. Для первой и последней ячеек расчётного слоя надо определить потоки массы, импульса и энергии через грани.
Часто для задания граничных условий вводятся «виртуальные» расчётные ячейки. Для этого слева от первой ячейки и справа от последней ячейки вводится ещё по одной дополнительной ячейке, в каждой из которых задаются такие параметры течения, чтобы при решении задачи Римана на боковой грани моделировались требуемые потоки.
Типы граничных процедур
[править | править код]Все предположения производятся относительно левой границы
Неподвижная жесткая стенка
[править | править код]Главное условие — отсутствие перетекания потока массы газа через границу, что соответствует условию нулевой скорости потока на данной грани В виртуальной ячейке тогда нужно задать следующие параметры течения:
- «w» — параметры в виртуальной ячейке
- «1» — параметры в первой ячейке
Получаемые в задаче распада разрыва параметры течения на боковой грани реализуют нулевой поток массы через эту грань.
Резервуар неограниченной ёмкости
[править | править код]Этому случаю математически соответствует задание на грани значение давления . Скорость втекания можно определить по формуле
При этом:
- если , то
- если , то
Втекающий сверхзвуковой поток
[править | править код]Пусть верхнее подчеркивание обозначает параметры сверхзвукового потока, тогда, если , то
Вытекающий сверхзвуковой поток
[править | править код]При этом в виртуальной ячейке задаются следующие параметры течения:
Выбор параметров сетки
[править | править код]Шаг расчётной сетки по временной координате в методе Годунова можно определить из критерия устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви. Применительно к рассматриваемой схеме это условие формулируется следующим образом:
Волны, возникающие в задаче распада произвольного разрыва в точке , не должны за время достигать боковых граней и и искажать автомодельное решение.
Реализация этого принципа приводит к следующим соотношениям:
где
- — значение скорости самой левой волны в распаде разрыва;
- — значение скорости самой правой волны в распаде разрыва;
В итоге мы берем:
Литература
[править | править код]- Численное решение многомерных задач газовой динамики. Альбом / редактор Годунов С. К. . — М.: Наука, 1976. — 400 с. — 6500 экз.
- Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука, 1992. — 2470 экз.
Ссылки
[править | править код]- С. К. Годунов, «Разностный метод расчета ударных волн», УМН, 12:1(73) (1957), 176—177
- С. К. Годунов, «Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики», Матем. сб., 47(89):3 (1959), 271—306
- Обсуждение метода Годунова
Для улучшения этой статьи желательно:
|