Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения, без нахождения частного решения.
Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
[править | править код]
Станем искать решение уравнения
![{\displaystyle a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1}(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=f(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa34f14f7884bae6c20f7ed13bb82c62065542c8)
полагая, что для соответствующего ему однородного уравнения
![{\displaystyle a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1}(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=0\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270392b368d2bf8a4769cfbd25c919c8d4225e9a)
известно решение, которое запишем как
![{\displaystyle z(t)=c_{1}z_{1}(t)+c_{2}z_{2}(t)+...+c_{n}z_{n}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fadf1d36d5554cda143d3ca7818999820f261223)
Метод состоит в замене произвольных постоянных
в общем решении на вспомогательные функции
.
Производная для
запишется
![{\displaystyle z'=c_{1}'z_{1}+\ldots +c_{n}'z_{n}\;+\;c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n}z_{n}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b82d60b52475de527a4f79146ec7e2ad9023e1)
Но мы потребуем дополнительно (ниже показано, что проблем это не вызовет), чтобы
![{\displaystyle c_{1}'z_{1}+c_{2}'z_{2}+\ldots +c_{n}'z_{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05d2900fa57901d69da57e367bc21a7ce3bcae6)
Таким образом,
Вводя схожие требования для
при последовательном дифференцировании
до (n-1) порядка, получим
![{\displaystyle z^{(k)}=c_{1}z_{1}^{(k)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a35e4bb3287368c94a7ee3d0eff0ca025e49be4)
А для старшей производной, соответственно
![{\displaystyle z^{(n)}=c_{1}'z_{1}^{(n-1)}+\ldots +c_{n}'z_{n}^{(n-1)}+\;\ldots \;+c_{1}z_{n}^{(n)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b427396b63992393c84ef3556c07e899c35ffaa)
После подстановки в исходное уравнение и сокращения в нём однородного решения (1), останется
![{\displaystyle a_{n}(t)\left[c_{1}'(t)z_{1}^{(n-1)}(t)+\ldots +c_{n}'(t)z_{n}^{(n-1)}(t)\right]=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25919ddd9869601a6f56a005ad7781ef16e73b7)
В результате, приходим к
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{1}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}(t)c_{n}'(t)&=&0\\\vdots \\z_{1}^{(n-2)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-2)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-2)}(t)c_{n}'(t)&=&0\\z_{1}^{(n-1)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-1)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-1)}(t)c_{n}'(t)&=&f(t)/a_{n}(t)\end{matrix}}\right.\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6408da100c6b85b871bb516be2e425d8fc569191)
Определителем системы (2) служит вронскиан функций
, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно
.
Если
— первообразные для
, взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
![{\displaystyle z=z^{*}(t)={\widetilde {c_{1}}}(t)z_{1}(t)+...+{\widetilde {c_{n}}}(t)z_{n}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36dc64e6f2ccb31439728766dc0ed10af13b47f7)
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.
1) Уравнение, в частности возникающее в законе радиоактивного распада
![{\displaystyle {\dot {x}}+\gamma x=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a22a473714c8e1ea45ae2c93c1bb4edccdf203)
Общее решение элементарно интегрируется:
![{\displaystyle x=c\cdot e^{-\gamma t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81950e4dbc729a8ddf1be51d5bfca61cbb788c6)
Применим метод Лагранжа:
![{\displaystyle c'e^{-\gamma t}=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c121c8de70a4bfd1c70f4b078213c5f0bf02d8bd)
Откуда искомое решение
![{\displaystyle x=\int f(t)e^{\gamma t}\,dt\;\cdot e^{-\gamma t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1267b8c578584de0e7a833687d0ff15ac959505d)
2) Уравнение гармонического осциллятора
![{\displaystyle {\ddot {x}}+\omega ^{2}x=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83abf1b0441d3a6f67591026a8b01527d2b11258)
Решение однородного уравнения запишем в виде
![{\displaystyle x=a\sin \omega t+b\cos \omega t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472f3ee6855f6d258452cd272bd0cc493ff1b91c)
Согласно системе (2) получаем:
![{\displaystyle {\begin{cases}a'\sin \omega t+b'\cos \omega t=0,\\a'\cos \omega t-b'\sin \omega t=f(t)/\omega ;\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1782b23980bd6b61ef7376552f1a81edb9682bc2)
![{\displaystyle a'={\frac {-{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}={\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d299f615f548d388387eedeb1f2252caf8fbe7)
![{\displaystyle b'={\frac {{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}=-{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2d1a67addd3884c3e2f6d2d62cf0cadad35416)
Восстановим решение:
![{\displaystyle x(t)=\left(\int \,{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)dt\right)\sin \omega t-\left(\int \,{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)dt\right)\cos \omega t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1097530379c51bd122708f517f92319c51361e4a)
Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме
[править | править код]
![{\displaystyle {\frac {d{\bar {x}}}{dt}}=A(t){\bar {x}}+{\bar {f}}(t),t\in I\qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be19a69578a7a0a0920c18c71a5eb3e3054f665e)
состоит в построении общего решения (3) в виде
![{\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=Z(t){\bar {u}}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7115113fb998034f1546b399906cfd0437c423cb)
где
— базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция
, заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением
. Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при
имеет вид
![{\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t)Z^{-1}(\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959a95bfe41dc65be5cba2c56661d80be02a2626)
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:
![{\displaystyle {\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t-\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff43a97860b560d8c4000367aecee2c4d98023a4)
Матрица
называется матрицей Коши оператора
.