Мера Хаусдорфа (Byjg }grv;kjsg)

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской $\sigma$ -алгебре ${\mathcal {B}}(X)$ метрического пространства $X$ . Построены Феликсом Хаусдорфом.^[1]

Определение

Рассмотрим некоторый класс ${\mathcal {U}}$ открытых подмножеств $X$ , на котором определим неотрицательную функцию $l=\{l(A)\mid A\in {\mathcal {U}}\}$ и

\lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}l(A_{i})\right\},

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества $B\subset X$ множествами из ${\mathcal {U}}$ с диаметром, не превосходящим $\varepsilon$ , то есть

B\subset \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}

и

\mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad i=1,\;2,\;\ldots

Мерой Хаусдорфа $\lambda$ , определяемой классом ${\mathcal {U}}$ и функцией $l$ , называется предел

\lambda (B)=\lim _{\varepsilon \to 0}\lambda (B,\;\varepsilon ).

Примеры

Пусть ${\mathcal {U}}$ — совокупность всех шаров в $X$ , a $l(A)=(\mathrm {diam} \,A)^{\alpha }$ , где $\alpha >0$ . Тогда соответствующая мера $\lambda$ будет называться $\alpha$ -мерой Хаусдорфа. При $\alpha =1$ такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при $\alpha =2$ — плоской мерой Хаусдорфа.
Если $X=\mathbb {R} ^{n+1}$ , ${\mathcal {U}}$ — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси $x_{n+1}$ и $l(A)$ равна $n$ -мерному объёму осевого сечения цилиндра $A\in {\mathcal {U}}$ , то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.