Эллиптическое уравнение (|llnhmncyvtky rjgfuyuny)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Laplace%27s_equation_on_an_annulus.svg/220px-Laplace%27s_equation_on_an_annulus.svg.png)
Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.
Определение
[править | править код]Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции :
При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:
- ,
где .
Матрица называется матрицей главных коэффициентов.
Если все собственные значения матрицы имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:
- ,
где — эллиптический оператор.
Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.
Решение эллиптических уравнений
[править | править код]Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных граничных условиях применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.
Примеры эллиптических уравнений
[править | править код]В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.
- Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона описывают различные стационарные физические поля.
- Стационарный аналог уравнения Шрёдингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
- Уравнения, получаемые из уравнений Максвелла. В этом случае эллиптические уравнения получаются из предположения, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Одним из уравнений, получаемых в таких предположениях, является уравнение Гельмгольца.
- Уравнение Стокса — стационарный аналог системы уравнений Навье-Стокса для устоявшегося течения,
а также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики. — 5-е изд. — Москва: Наука, 1977.