Уравнение Ландау — Лифшица (магнетизм) (Rjgfuyuny Lgu;gr — Lnsoneg (bgiuymn[b))

Уравне́ние Ланда́у — Ли́фшица — уравнение, описывающее движение намагниченности в приближении континуальной модели в твердых телах. Впервые введено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 году.

Формулировка

Для бездиссипативной среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде

${\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }],\qquad (1)$

где $\mathbf {M} \equiv \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)$ — плотность магнитного момента (намагниченность), $\gamma$ — некоторая феноменологическая постоянная, $\mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }\equiv \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }(\mathbf {r} ,t)$ — так называемое эффективное магнитное поле.

Уравнение в основном используется для ферро- и ферримагнетиков. В общем случае постоянная $\gamma$ не совпадает с гиромагнитным отношением и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом орбитальных моментов. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в $S$-состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют), $\gamma$ можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности. Это выполняется для CdCr₂Se₄, железо-иттриевого граната Y₃Fe₅O₁₂, пермаллоя Fe_20+xNi_80-x и большинства^{[уточнить]} других ферро- и ферримагнитных материалов.

Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная свободной энергии по магнитному моменту

$\mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\delta F}{\delta \mathbf {M} }}.\qquad (2)$

В случае, когда рассматривается магнетик вдали от температуры Кюри или при нулевой температуре, то свободная энергия $F$ равна внутренней $E$.

В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на $\mathbf {M}$, что даст

${\frac {\partial \mathbf {M} ^{2}}{\partial t}}=0.\qquad (3)$

Этот факт дает основание говорить о прецессии намагниченности.

Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен, поэтому часто постулируется возможность формального перехода от уравнения движения оператора спина $\mathbf {S} _{n}$

$i\hbar {\frac {\partial \mathbf {S} _{n}}{\partial t}}=[{\mathcal {H}},\mathbf {S} _{n}],\qquad (4)$

к уравнению (1) путём замены $\mathbf {S} _{n}\to -{\frac {a^{3}}{2\mu _{B}}}\mathbf {M} (\mathbf {r} _{n})$ и разложения поля намагниченности $\mathbf {M} (\mathbf {r} _{n+n_{0}})$ вблизи точки $\mathbf {r} _{n}$ в ряд Тейлора. Тут $[\bullet ,\bullet ]$ — коммутатор, ${\mathcal {H}}$ — гамильтониан, $\mathbf {S} _{n}$ — оператор спина для n-го узла решетки, а $\mathbf {r} _{n}$ — его радиус-вектор, $a$ — постоянная решетки, $\mu _{B}$ — магнетон Бора.

Модификации

Учет диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближенного описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведенных форм. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.

Релаксационный член в форме Ландау — Лифшица

Ландау и Лифшиц предложили следующую модификацию:

${\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]-{\frac {|\gamma |\lambda }{M^{2}}}\left[\mathbf {M} \times [\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]\right],\qquad (5)$

где $\lambda$ — параметр диссипации. Иногда за параметр диссипации принимают величину $\lambda _{1}=|\gamma |\lambda$.

Уравнение Ландау — Лифшица — Гильберта

Часто используется релаксационный член в форме Гильберта:

${\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]+{\frac {\alpha }{M}}\left[\mathbf {M} \times {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}\right],\qquad (6)$

где $\alpha$ — параметр диссипации. Формальный переход между уравнениями (5) и (6) можно совершить заменой

$\gamma \to {\frac {\gamma }{1+\alpha ^{2}}},\quad \lambda \to {\frac {\alpha M}{1+\alpha ^{2}}}.\qquad (7)$

В связи с отрицательным значением гиромагнитного отношения встречаются определения параметров релаксации с противоположными знаками в (5) и (6).

Уравнение Блоха — Бломергена

Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности может служить модифицированное уравнение Блоха или уравнение Блоха — Бломергена:

${\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=-|\gamma |[\mathbf {M} \times \mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }]-\omega _{r}(\mathbf {M} -\chi _{0}\mathbf {H} ^{\mathrm {eff} }),\qquad (8)$

где $\chi _{0}$ — так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а $\omega _{r}$ — частота релаксации.

Влияние спин-поляризированного тока

Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида $|\gamma |\mathbf {T}$. Один из подходов к его конкретизации состоит в разложении вектора $|\gamma |\mathbf {T}$ по осям, направленным вдоль $\mathbf {M}$, $[\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }]$ и $\mathbf {M} \times [\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }]$. Тут $\mathbf {m} _{\mathrm {ref} }$ — единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие

$\mathbf {T} _{\parallel }=-{\frac {|\gamma |a_{J}}{M_{s}}}\mathbf {M} \times [\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }],\quad \mathbf {T} _{\perp }=|\gamma |b_{J}[\mathbf {M} \times \mathbf {m} _{\mathrm {ref} }],\qquad (9)$

где коэффциценты $a_{J}$ и $b_{J}$ пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризирующей структуры и угла между $\mathbf {M}$ и $\mathbf {m} _{\mathrm {ref} }$.

Другие формы записи

Для аналитического анализа, чаще всего уравнение Ландау — Лифшица записывается в угловых переменных сферической системы координат $\theta$ и $\phi$. В таком случае вектор намагничености можно представить как

$M_{x}+iM_{y}=M_{s}\sin \theta e^{i\phi },\quad M_{z}=M_{s}\cos \theta ,$

где $M_{s}$ — намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (6) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности $\delta \mathbf {M}$, выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов получим

$\sin \theta {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \phi }},\quad \sin \theta {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \theta }}.\qquad (10)$

Получение уравнений в угловых переменных, содержащих дополнительные члены, проделывается аналогично. Так, для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем

$\sin \theta {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \phi }}-\alpha \sin ^{2}\theta {\frac {\partial \phi }{\partial t}},\quad \sin \theta {\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {|\gamma |}{M_{s}}}{\dfrac {\delta E}{\delta \theta }}+\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial t}}.\qquad (11)$

См. также

• Ландау, Лев Давидович
• Лифшиц, Евгений Михайлович
• Ферромагнетики
• Ферримагнетики

Литература

• L. Landau, E. Lifshitz. On the Theory of the Dispersion of Magnetic Permeability in Ferromagnetic Bodies (англ.) // Sow. Phys. — 1934. — Bd. 8, H. 2. — S. 153—169.
• Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
• Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с.,  ISBN 5-02-014366-9.
• Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
• Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
• Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
• Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
• Hubert, Alex; Rudolf Schäfer. Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures (англ.). — Springer, 1998. — P. 557. — ISBN 3540641084.

Ссылки

• OOMMF — The Object-Oriented Micromagnetic Framework — свободно распространяемый программный пакет для микромагнитного моделирования, написанный на C++ и Tcl/Tk.
• Ферромагнитные домены