Кратный интеграл (Tjgmudw numyijgl)
Кратный интеграл — определённый интеграл, взятый от переменных; например:
- .
В классическом анализе чаще всего используются двойной интеграл
и тройной интеграл — интегралы от двух и трёх переменных соответственно.Определение
[править | править код]Этот раздел должен быть полностью переписан. |
В общем случае кратный интеграл определяется для функции на жорданово измеримом множестве с использованием понятия разбиения — набора попарно непересекающихся подмножеств , которые в объединение дают всё . Мелкостью измерения называется наибольший диаметр множеств :
- .
Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.
Кратным (-кратным) интегралом функции на называется число (если оно существует), такое, что при любой -окрестности числа всегда найдётся такое разбиение множества и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность:
- : : .
(здесь — мера множества .
Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм: для данного разбиения и множества точек рассматривается интегральная сумма:
- ,
тогда кратным интегралом функции называют предел:
- ,
если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.
В случае кратный интеграл совпадает с интегралом Римана.
Обозначение
[править | править код]В современном анализе чаще всего используется векторная форма записи[1]:
- .
Иногда ставят знак интеграла раз, записывают функцию и дифференциалов:
- .
Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения и соответственно.
Многократное использование знака характерно для учебной литературы, в современных научных работах используется редко.
Существование кратного интеграла
[править | править код]Если функция непрерывна на измеримом по Жордану компакте, то она интегрируема на нем. Как следствие, неограниченная функция на множестве может быть не интегрируемой, даже если она непрерывна. Например, функция не интегрируема на интервале .
Если функция определена на измеримом по Жордану множестве, у которого существуют сколь угодно мелкие разбиения, для которых данная функция неограничена на объединении всех их элементов положительной меры, то эта функция неинтегрируема на этом множестве.
Критерий Дарбу: если существуют верхний и нижний интегралы Дарбу функции на , тогда, если верхний и нижний интегралы Дарбу равны, то данная функция интегрируема на , причём:
- .
Критерий Лебега: если — измеримое по Жордану множество, то интегрируема на если она ограничена на и непрерывна на , где множество имеет меру Лебега нуль.
Свойства кратных интегралов
[править | править код]Кратные интегралы линейны по функции: если измеримо, функции и интегрируемы на , то:
- .
Аддитивность по множеству интегрирования позволяет раздельно проинтегрировать по частям областей: если и измеримы, и , а функция определена и интегрируема на каждом из множеств и , то интеграл по существует и равен сумме интегралов по и :
- .
Кратные интегралы монотонны по функции: если измеримо, функции и интегрируемы на , причём , то:
- .
Интегральное неравенство треугольника (следствие монотонности):
Интегральная теорема о среднем: если — компакт, функция непрерывна и интегрируема на , тогда:
- .
Постоянная функция интегрируема на любом измеримом множестве , причём:
- .
Как следствие, .
Вычисление кратных интегралов
[править | править код]Сведение кратного интеграла к повторным
[править | править код]Пусть — измеримое множество, — также измеримое множество, определена и интегрируема на . Тогда
- существует всюду на , кроме множества Лебеговой меры нуль ( может быть пустым);
- существует , где
- называемый повторным интегралом от функции по множеству ;
- .
Любой -мерный интеграл можно свести к одномерным.
Замена переменных
[править | править код]Пусть задано биективное отображение , переводящее область в :
- ,
где — «старые» координаты, а — «новые» координаты. Пусть далее функции, задающие отображение, имеют в области непрерывные частные производные первого порядка, а также ограниченный и отличный от нуля якобиан
- .
Тогда при условии существования интеграла
справедлива формула замены переменных:
Использование симметрии
[править | править код]Если область интегрирования симметрична относительно начала координат по крайней мере для одной из переменных интегрирования и подынтегральная функция нечётна по этой переменной, интеграл равен нулю, поскольку интегралы по двум половинкам области интегрирования имеют одно и то же абсолютное значение, но противоположные знаки. Если подынтегральная функция чётна по этой переменной, интеграл равен удвоенному интегралу по одной из половинок области интегрирования, поскольку интегралы по каждой из половинок равны.
Например, если функция интегрируется по области:
- —
кругу радиуса 1 с центром в начале координат, то используя свойство линейности, интеграл можно разложить на три части:
и являются нечётными функциями и, кроме того, очевидно, что диск симметричен как относительно оси , так и по оси . Таким образом, вклад в конечный результат даёт только константа 5.
В примере для интегрирования функции по сфере радиуса 2 с центром в начале координат:
достаточно проинтегрировать по оси , чтобы показать, что интеграл равен 0, поскольку по этой переменной функция нечётна.
Двойной интеграл
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Volume_under_surface.png/220px-Volume_under_surface.png)
Двойным интегралом называют кратный интеграл с :
- .
Здесь — элемент площади в рассматриваемых координатах.
В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.
Геометрический смысл
[править | править код]Пусть функция принимает в области только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объёму вертикального цилиндрического тела, построенного на основании и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности .
Выражение через полярные координаты
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Passaggio_in_coordinate_polari.svg/220px-Passaggio_in_coordinate_polari.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Esempio_trasformazione_dominio_da_cartesiano_polare.svg/220px-Esempio_trasformazione_dominio_da_cartesiano_polare.svg.png)
В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.
Для выражения через полярные координаты используется следующая замена переменных:
- , .
Модуль якобиана отображения равен . Таким образом:
- где .
Здесь является элементом площади в полярных координатах.
Приложения двойных интегралов
[править | править код]Наименование величины | Общее выражение | Прямоугольные координаты | Полярные координаты |
---|---|---|---|
Площадь плоской фигуры | |||
Масса тонкой плоской пластинки
плотностью |
|||
Площадь куска поверхности | |||
Объем цилиндрического тела,
стоящего на плоскости |
|||
Момент инерции плоской фигуры
относительно оси |
|||
Момент инерции плоской фигуры
относительно оси |
|||
Координаты центра масс
однородной пластинки |
|
||
Примечания |
1) Область — проекция на плоскость ; в каждую точку области проектируется только одна точка поверхности; — угол между касательной плоскостью и плоскостью . 2) Совмещенной с плоскостью . 3) Или, что то же, относительно центра О. |
Тройной интеграл
[править | править код]Тройным интегралом называют кратный интеграл с :
где — элемент объёма в рассматриваемых координатах.
Выражение тройного интеграла через прямоугольные координаты
[править | править код]В прямоугольных координатах тройной интеграл имеет следующий вид:
где — элемент объёма в прямоугольных координатах.
Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Triple_Integral_Example.svg/220px-Triple_Integral_Example.svg.png)
Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:
Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что
где — элемент объёма в цилиндрических координатах.
Выражение тройного интеграла через сферические координаты
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Triple_Integral_Example_2.svg/220px-Triple_Integral_Example_2.svg.png)
Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:
Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что
где — элемент объёма в сферических координатах.
Приложения тройных интегралов
[править | править код]Наименование величины | Общее выражение | Прямоугольные координаты | Цилиндрические координаты | Сферические координаты |
---|---|---|---|---|
Объем тела | ||||
Момент инерции геометрического
тела относительно оси |
||||
Масса физического тела с плотностью | ||||
Координаты центра масс
однородного тела |
— | — |
Примечания
[править | править код]- ↑ Достаточно типичным в такой записи использовать для элемента (-мерного) объёма интегрирования другой буквы, чем для обозначения векторного аргумента интегрируемой функции, то есть не , а например или просто или , поскольку в координатной записи этот элемент объёма представляет собой в простейших случаях произведение дифференциалов координат , а в более общем случае криволинейных координат необходимо включает в себя ещё и детерминант метрики: .
Литература
[править | править код]- Выгодский, М. Я. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике. — М.: Астрель, АСТ, 2005. — 991 с. — 10 000 экз. — ISBN 5-17-012238-1, 5-271-03651-0.
- Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 2. — 464 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5.
- Кудрявцев, Л. Д. Глава 6. Интегральное исчисление функций многих переменных // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 2. — 584 с.
- Будак, Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. — М.: Наука, 1967. — 608 с.