Интеграл Дарбу (Numyijgl :gjQr)

Интеграл Дарбу — один из способов обобщения интеграла Римана на любые ограниченные на отрезке функции. Различают верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегралы Дарбу геометрически представляют собой верхнюю и нижнюю площадь под графиком.

Определение

Для определения интегралов Дарбу прежде необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу.

Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке $[a,b]$ определена функция вещественного переменного $f$ .

Разбиением $\tau$ отрезка $[a,b]$ будем называть конечное множество точек этого отрезка, включающего в себя точки $a$ и $b$ . ^[1] Для удобства дальнейших записей будем вводить обозначения. Точки разбиения $\tau$ обозначим за $x_{i}$ , причём пронумеруем их в порядке возрастания (начиная с нуля):

\tau =\left\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b

.

Множество всех разбиений отрезка $[a;b]$ обозначим за $T$ .

Частичным отрезком разбиения $\Delta _{i}$ назовём отрезок $[x_{i-1},x_{i}]$ .

\Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]

Длину частичного отрезка разбиения обозначим за $\Delta x_{i}$ .

\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}

Диаметром разбиения $d$ назовём максимальную длину частичного отрезка разбиения $\Delta x_{i}$ .^[2]

d=\max \Delta x_{i}

Точные грани функции на частичных отрезках разбиения обозначим за $m_{i}$ и $M_{i}$ .

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

,

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

.

Тогда, нижней суммой Дарбу $s(f,\tau )$ функции $f$ на разбиении $\tau$ называется

s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}

Верхней суммой Дарбу $S(f,\tau )$ называется

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

^[3]

Тогда нижним интегралом Дарбу $I_{*}$ называется

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Верхним интегралом Дарбу $I^{*}$ называется

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

^[4]

Альтернативные определения

Существуют также альтернативные определения интегралов Дарбу. Обычно они доказываются как свойства.

Нижний интеграл Дарбу есть предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть предел верхних.^[5]

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Нижний интеграл Дарбу есть нижний предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть верхний предел.^[6]

I_{*}=\varliminf _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

I^{*}=\varlimsup _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )

Свойства

Свойства сумм Дарбу

При любых произвольно взятых двух разбиениях одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.^[7]

\forall \tau _{1},\tau _{2}\in T\quad s(f,\tau _{1})\leq S(f,\tau _{2})

Нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.^[4]

При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться, а верхняя никак не может увеличиться.^[7]

{\begin{aligned}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{aligned}}\quad \tau '

— измельчение

\tau

.

Более того, изменению этих сумм можно дать следующую оценку.

Пусть d — диаметр

\tau

, измельчение

\tau '

— получено добавлением не более чем

l

точек к

\tau

,

M

и

m

— точные грани функции

f

на отрезке

[a;b]

. Тогда

s(f,\tau ')-s(f,\tau )\leq (M-m)ld

S(f,\tau )-S(f,\tau ')\leq (M-m)ld

^[5]

Пусть $\sigma (f,\tau ,\xi )$ — интегральная сумма. При любом произвольно взятом разбиении с отмеченными точками $(\tau ,\xi )$ верно следующее неравенство:

s(f,\tau )\leq \sigma (f,\tau ,\xi )\leq S(f,\tau )

^[8]

Суммы Дарбу есть точные грани интегральных сумм на данном разбиении.^[7] Пусть $\Xi$ — множество всех возможных отмеченных точек на разбиении $\tau$ . Тогда

s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

,

S(f,\tau )=\sup _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )

.

Свойства интегралов Дарбу

Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны.^[9] Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен $+\infty$ , для неограниченной снизу нижний интеграл равен $-\infty$ .
Для сумм и интегралов верны следующие неравенства

s(f,\tau )\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau )

^[9]

Основная лемма Дарбу. Предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции и равен нижнему интегралу Дарбу. Предел верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции существует и равен верхнему интегралу Дарбу.^[5]

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

и

I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )

\exists \lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

и

I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )

Основная лемма Дарбу устанавливает эквивалентность первого и второго определения интегралов Дарбу.

Критерий Дарбу. Интегрируемость по Риману на $[a;b]$ ограниченной на этом отрезке функции $f$ равносильна равенству верхнего и нижнего интегралов Дарбу на этом отрезке.

f

— интегрируема по Риману

\Leftrightarrow I_{*}=I^{*}

^[10]

Вариации и обобщения

Кратный интеграл Дарбу

По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть $G$ — измеримое по Жордану множество, $\tau$ — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за $\Delta _{i}$ .

\tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\right\}

За $\Delta x_{i}$ обозначим меру Жордана $\Delta _{i}$ .

Множество всех разбиений $G$ будем обозначать $T$ .

Диаметр разбиения $d$ определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).

\max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|x-y|

Точные грани функции на множествах разбиения обозначим за $m_{i}$ и $M_{i}$ .

{{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)

,

{{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)

.

Тогда, нижней суммой Дарбу $s(f,\tau )$ функции $f$ на разбиении $\tau$ называется

s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}

Верхней суммой Дарбу $S(f,\tau )$ называется

S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}

^[11]

Тогда нижним интегралом Дарбу $I_{*}$ называется

I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )

Верхним интегралом Дарбу $I^{*}$ называется

I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )

^[12]

Все вышеперечисленные свойства сумм Дарбу и интегралов Дарбу, а также альтернативные определения сохраняются.^[13]

Примечания

↑ Ильин, 1985, с. 330.
↑ Ильин, 1985, с. 331.
↑ Архипов, 1999, с. 190.
↑ ¹ ² Ильин, 1985, с. 337.
↑ ¹ ² ³ Ильин, 1985, с. 338.
↑ Архипов, 1999, с. 208.
↑ ¹ ² ³ Ильин, 1985, с. 336.
↑ Ильин, 1985, с. 335.
↑ ¹ ² Архипов, 1999, с. 191.
↑ Кудрявцев, 2003, с. 553.
↑ Архипов, 1999, с. 559.
↑ Архипов, 1999, с. 548.
↑ Архипов, 1999, с. 550.

Литература

Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е изд., перераб.. — М.: МГУ, 1985. — 662 с. с.
Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пед. вузов. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. с. — ISBN 5-06-003596-4.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных (рус.). — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.

[_4bfd8d5a8d4a8945-1] Ильин, 1985, с. 330.

[_4bfd8d5a8d4a8944-2] Ильин, 1985, с. 331.

[_39a5520cf138eceb-3] Архипов, 1999, с. 190.

[_4bfd8d5a8d4a8942-4] ¹ ² Ильин, 1985, с. 337.

[_4bfd8d5a8d4a894d-5] ¹ ² ³ Ильин, 1985, с. 338.

[_39af5b0cf1415093-6] Архипов, 1999, с. 208.

[_4bfd8d5a8d4a8943-7] ¹ ² ³ Ильин, 1985, с. 336.

[_4bfd8d5a8d4a8940-8] Ильин, 1985, с. 335.

[_39a5520cf138ecea-9] ¹ ² Архипов, 1999, с. 191.

[_08832ad3234c0c98-10] Кудрявцев, 2003, с. 553.

[_39b2de0cf1446522-11] Архипов, 1999, с. 559.

[_39b2dd0cf1446350-12] Архипов, 1999, с. 548.

[_39b2de0cf144652b-13] Архипов, 1999, с. 550.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]