Криволинейный интеграл (Tjnfklnuywudw numyijgl)

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.

Различают криволинейный интеграл

первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой
второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.

Определение

Начальные условия

Кривая

Пусть $l$ — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:

l\colon ~\mathbf {r} (t),

где r — радиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой $l.$ При этом не играет роли, что больше — b или a.^[1]

Интегрируемая функция

Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой $l\colon$ $f(\mathbf {r} )$ или $\mathbf {f} (\mathbf {r} ).$

Разбиение

Разбиение отрезка параметризации

Пусть дано разбиение отрезка $[a,b]$ $[a,b]$ (или $[b,a]$ $[b,a]$ ) то есть множество $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},$ где:
- $a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,$ если $a<b;$
- или $a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,$ если $a>b.$

Мелкостью этого разбиения называется число $\max _{k={\overline {1,n}}}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},$ обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.

Введём набор промежуточных точек разбиения — точек $\xi _{k},$ каждая из которых лежит между $t_{k-1}$ и $t_{k}$ ( $k={\overline {1,n}}$ ).

Разбиение кривой

Зададим разбиение кривой $\{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},$ которое соответствует разбиению $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}$ отрезка параметризации.

За $l_{k}$ обозначим часть кривой $\mathbf {r} (t)$ от значения параметра $t=t_{k-1}$ до значения $t=t_{k},$ где $k={\overline {1,n}}.$

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ каждая из которых лежит на $l_{k}$ ( $k={\overline {1,n}}$ ).

Интегральные суммы

Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ разбиение $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}$ и участки $l_{k}$ кривой $l.$ Рассмотрим две интегральные суммы:

интегральную сумму для интеграла первого рода:
$\sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,$ где |l_k| — длина участка l_k;

интегральную сумму для интеграла второго рода:
$\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\big )},$

где вектор-функция f скалярно умножается на приращение r(t_k) − r(t_k₋₁).

Криволинейный интеграл

Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции $f$ ( $\mathbf {f}$ ) по кривой $l.$ Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция $f$ ( $\mathbf {f}$ ) интегрируема по кривой $l.$ Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,

где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.

Если кривая $l$ замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка $\textstyle \int$ принято писать $\textstyle \oint .$

Криволинейный интеграл первого рода

Свойства

Линейность:
$\int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l}f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Аддитивность: если $l_{1}$ и $l_{2}$ пересекаются в одной точке, то
$\int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_{2}}f\mathbf {|dr|} .$
Монотонность: если $f\leqslant g$ на $l$ , то
$\int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Теорема о среднем: при непрерывности функции $f$ на $l$ для интеграла $\textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|}$ возможно подобрать такую точку $\xi \in l,$ что
$\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,$ или, что то же самое, $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi )\cdot |l|.$
Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:
$\int _{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |\mathbf {dr} |.$
Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть $l$ — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция $f(\mathbf {r} )$ определена и интегрируема вдоль кривой $l.$ Тогда в общем случае

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|,

или, если раскрыть модуль дифференциала dt,

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{cases}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt),&{\text{если}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt,&{\text{если}}~a>b.\end{cases}}

где точкой обозначена производная по t.

Криволинейный интеграл второго рода

Свойства

1. Линейность:

\int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .

2. Аддитивность:

\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int _{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .

3. $\int _{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} .$

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление

Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция $\mathbf {f}$ определена и интегрируема вдоль кривой $l.$ Тогда

\int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt,

а при изменении обхода кривой:

\int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt.

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Если обозначить за ${\vec {\tau }}$ единичный вектор касательной к кривой $l,$ который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:

\mathbf {\color {Green}dr} ={\vec {\tau }}\mathbf {\color {Green}|dr|} .

В терминах самих интегралов это выглядит так:

\int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green}|dr|} ,

где $l$ — гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция $\mathbf {f}$ интегрируема на ней.

Трёхмерное евклидово пространство

В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:

dx=\cos \angle ({\vec {i}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;

dy=\cos \angle ({\vec {j}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;

dz=\cos \angle ({\vec {k}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |.

Тогда, раскладывая скалярное произведение в $\textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green}|dr|}$ по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:

\int _{l}f_{x}(x,y,z)dx=\int _{l}f_{x}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {i}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;

\int _{l}f_{y}(x,y,z)dy=\int _{l}f_{y}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {j}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;

\int _{l}f_{z}(x,y,z)dz=\int _{l}f_{z}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {k}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |.

Механические приложения

Работа A по перемещению материальной точки вдоль направленной кривой l под воздействием силы F представляет собой

A=\int _{l}\mathbf {F\cdot dr} .

Масса m криволинейного (бесконечно тонкого) тела l, линейная плотность которого вдоль кривой l равна μ(r), выражается интегралом

m=\int _{l}\mathbf {\mu (r)|dr|} .

Центр масс (центра тяжести) криволинейного тела l с линейной плотностью μ(r) выражается через радиус-вектор r_c как

\mathbf {r} _{c}={\frac {1}{m}}\int _{l}\mu (\mathbf {r} )\mathbf {r|dr|} ,

где m — масса кривой l.

Моменты инерции кривой l при её вращении вокруг координатных осей в 3-мерном пространстве:

I_{x}=\int _{l}(y^{2}+z^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,

I_{y}=\int _{l}(z^{2}+x^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,

I_{z}=\int _{l}(x^{2}+y^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} .

Сила притяжения точечной массы m₀ в начале координат с криволинейным телом l равна

\mathbf {F} =\gamma m_{0}\int _{l}{\frac {\mu (\mathbf {r} )}{r^{3}}}|\mathbf {dr} |,

где μ(r) — линейная плотность кривой l, γ — гравитационная постоянная.

См. также

Примечания

↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления, глава 9, параграф 2 «Свойства определенных интегралов». (неопр.) Дата обращения: 8 июня 2021. Архивировано 19 июля 2020 года.

[1] Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления, глава 9, параграф 2 «Свойства определенных интегралов». (неопр.) Дата обращения: 8 июня 2021. Архивировано 19 июля 2020 года.

[1]

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	nLab
Словари и энциклопедии	Большая датская Большая российская (научно-образовательный портал) Britannica (онлайн)
В библиографических каталогах	GND: 4166227-1 NKC: ph122154