Криволинейный интеграл — интеграл , вычисляемый вдоль какой-либо кривой .
Различают криволинейный интеграл первого рода , в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой, и второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением .
Пусть
l
{\displaystyle l}
— гладкая (непрерывно дифференцируемая ), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически :
l
:
r
(
t
)
,
{\displaystyle l\colon ~\mathbf {r} (t),}
где r — радиус-вектор , конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b . Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой
l
.
{\displaystyle l.}
При этом не играет роли, что больше — b или a .[ 1]
Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой
l
:
{\displaystyle l\colon }
f
(
r
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} )}
или
f
(
r
)
.
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ).}
Пусть дано разбиение отрезка
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(или
[
b
,
a
]
{\displaystyle [b,a]}
) то есть множество
{
t
k
}
k
=
0
n
=
{
t
0
,
.
.
.
,
t
n
}
,
{\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},}
где:
a
=
t
0
<
…
<
t
n
=
b
,
{\displaystyle a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,}
если
a
<
b
;
{\displaystyle a<b;}
или
a
=
t
0
>
…
>
t
n
=
b
,
{\displaystyle a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,}
если
a
>
b
.
{\displaystyle a>b.}
Мелкостью этого разбиения называется число
max
k
=
1
,
n
¯
{
|
t
k
−
t
k
−
1
|
}
,
{\displaystyle \max _{k={\overline {1,n}}}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},}
обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.
Введём набор промежуточных точек разбиения — точек
ξ
k
,
{\displaystyle \xi _{k},}
каждая из которых лежит между
t
k
−
1
{\displaystyle t_{k-1}}
и
t
k
{\displaystyle t_{k}}
(
k
=
1
,
n
¯
{\displaystyle k={\overline {1,n}}}
).
Зададим разбиение кривой
{
r
(
t
k
)
}
k
=
0
n
,
{\displaystyle \{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},}
которое соответствует разбиению
{
t
k
}
k
=
0
n
{\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n}}
отрезка параметризации.
За
l
k
{\displaystyle l_{k}}
обозначим часть кривой
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)}
от значения параметра
t
=
t
k
−
1
{\displaystyle t=t_{k-1}}
до значения
t
=
t
k
,
{\displaystyle t=t_{k},}
где
k
=
1
,
n
¯
.
{\displaystyle k={\overline {1,n}}.}
Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек
r
(
ξ
k
)
,
{\displaystyle \mathbf {r} (\xi _{k}),}
каждая из которых лежит на
l
k
{\displaystyle l_{k}}
(
k
=
1
,
n
¯
{\displaystyle k={\overline {1,n}}}
).
Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки
r
(
ξ
k
)
,
{\displaystyle \mathbf {r} (\xi _{k}),}
разбиение
{
t
k
}
k
=
0
n
{\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n}}
и участки
l
k
{\displaystyle l_{k}}
кривой
l
.
{\displaystyle l.}
Рассмотрим две интегральные суммы :
интегральную сумму для интеграла первого рода:
∑
k
=
1
n
f
(
r
(
ξ
k
)
)
⋅
|
l
k
|
,
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,}
где |lk | — длина участка lk ;
интегральную сумму для интеграла второго рода:
∑
k
=
1
n
f
(
r
(
ξ
k
)
)
⋅
(
r
(
t
k
)
−
r
(
t
k
−
1
)
)
,
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\big )},}
где вектор-функция f скалярно умножается на приращение r (tk ) − r (tk −1 ).
Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции
f
{\displaystyle f}
(
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
) по кривой
l
.
{\displaystyle l.}
Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция
f
{\displaystyle f}
(
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
) интегрируема по кривой
l
.
{\displaystyle l.}
Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:
∫
l
f
(
r
)
|
d
r
|
,
∫
l
f
(
r
)
⋅
d
r
,
{\displaystyle \int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,}
где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr .
Если кривая
l
{\displaystyle l}
замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка
∫
{\displaystyle \textstyle \int }
принято писать
∮
.
{\displaystyle \textstyle \oint .}
Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле
Линейность:
∫
l
(
α
f
(
r
)
+
β
g
(
r
)
)
⋅
|
d
r
|
=
α
∫
l
f
|
d
r
|
+
β
∫
l
g
|
d
r
|
.
{\displaystyle \int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l}f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .}
Аддитивность: если
l
1
{\displaystyle l_{1}}
и
l
2
{\displaystyle l_{2}}
пересекаются в одной точке, то
∫
l
1
∪
l
2
f
|
d
r
|
=
∫
l
1
f
|
d
r
|
+
∫
l
2
f
|
d
r
|
.
{\displaystyle \int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_{2}}f\mathbf {|dr|} .}
Монотонность: если
f
⩽
g
{\displaystyle f\leqslant g}
на
l
{\displaystyle l}
, то
∫
l
f
|
d
r
|
⩽
∫
l
g
|
d
r
|
.
{\displaystyle \int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .}
Теорема о среднем: при непрерывности функции
f
{\displaystyle f}
на
l
{\displaystyle l}
для интеграла
∫
l
f
|
d
r
|
{\displaystyle \textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|} }
возможно подобрать такую точку
ξ
∈
l
,
{\displaystyle \xi \in l,}
что
∫
l
f
(
r
)
|
d
r
|
=
∫
l
f
(
ξ
)
|
d
r
|
,
{\displaystyle \int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,}
или, что то же самое,
∫
l
f
(
r
)
|
d
r
|
=
f
(
ξ
)
⋅
|
l
|
.
{\displaystyle \int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi )\cdot |l|.}
Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:
∫
A
B
f
⋅
|
d
r
|
=
∫
B
A
f
⋅
|
−
d
r
|
=
∫
B
A
f
⋅
|
d
r
|
.
{\displaystyle \int _{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |\mathbf {dr} |.}
Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
Пусть
l
{\displaystyle l}
— гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении ). Пусть функция
f
(
r
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} )}
определена и интегрируема вдоль кривой
l
.
{\displaystyle l.}
Тогда в общем случае
∫
l
f
(
r
)
|
d
r
|
=
∫
a
b
f
(
r
)
⋅
|
r
˙
(
t
)
d
t
|
=
∫
b
a
f
(
r
)
⋅
|
r
˙
(
t
)
d
t
|
,
{\displaystyle \int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|,}
или, если раскрыть модуль дифференциала dt ,
∫
l
f
(
r
)
|
d
r
|
=
{
∫
a
b
f
(
r
)
⋅
|
r
˙
(
t
)
|
d
t
=
∫
b
a
f
(
r
)
⋅
|
r
˙
(
t
)
|
(
−
d
t
)
,
если
a
<
b
,
∫
a
b
f
(
r
)
⋅
|
r
˙
(
t
)
|
(
−
d
t
)
=
∫
b
a
f
(
r
)
⋅
|
r
˙
(
t
)
|
d
t
,
если
a
>
b
.
{\displaystyle \int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{cases}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt),&{\text{если}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt,&{\text{если}}~a>b.\end{cases}}}
где точкой обозначена производная по t .
Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле
1. Линейность:
∫
l
(
α
f
+
β
g
)
⋅
d
r
=
α
∫
l
f
⋅
d
r
+
β
∫
l
g
⋅
d
r
.
{\displaystyle \int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .}
2. Аддитивность:
∫
A
B
f
⋅
d
r
+
∫
B
C
f
⋅
d
r
=
∫
A
B
C
f
⋅
d
r
.
{\displaystyle \int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int _{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .}
3.
∫
B
A
f
⋅
d
r
=
∫
A
B
f
⋅
(
−
d
r
)
=
−
∫
A
B
f
⋅
d
r
.
{\displaystyle \int _{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} .}
Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.
Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении ) и наделённая направлением от A до B . Пусть функция
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
определена и интегрируема вдоль кривой
l
.
{\displaystyle l.}
Тогда
∫
A
B
f
(
r
)
⋅
d
r
=
∫
a
b
f
(
r
)
⋅
r
˙
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle \int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt,}
а при изменении обхода кривой:
∫
B
A
f
(
r
)
⋅
d
r
=
∫
b
a
f
(
r
)
⋅
r
˙
(
t
)
d
t
=
−
∫
a
b
f
(
r
)
⋅
r
˙
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt.}
Если обозначить за
τ
→
{\displaystyle {\vec {\tau }}}
единичный вектор касательной к кривой
l
,
{\displaystyle l,}
который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:
d
r
=
τ
→
|
d
r
|
.
{\displaystyle \mathbf {\color {Green}dr} ={\vec {\tau }}\mathbf {\color {Green}|dr|} .}
В терминах самих интегралов это выглядит так:
∫
l
f
⋅
d
r
=
∫
l
(
f
⋅
τ
→
)
|
d
r
|
,
{\displaystyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green}|dr|} ,}
где
l
{\displaystyle l}
— гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
интегрируема на ней.
В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы , если воспользоваться определением скалярного произведения :
d
x
=
cos
∠
(
i
→
,
τ
→
)
|
d
r
|
;
{\displaystyle dx=\cos \angle ({\vec {i}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;}
d
y
=
cos
∠
(
j
→
,
τ
→
)
|
d
r
|
;
{\displaystyle dy=\cos \angle ({\vec {j}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;}
d
z
=
cos
∠
(
k
→
,
τ
→
)
|
d
r
|
.
{\displaystyle dz=\cos \angle ({\vec {k}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |.}
Тогда, раскладывая скалярное произведение в
∫
l
f
⋅
d
r
=
∫
l
(
f
⋅
τ
→
)
|
d
r
|
{\displaystyle \textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green}|dr|} }
по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:
∫
l
f
x
(
x
,
y
,
z
)
d
x
=
∫
l
f
x
(
x
,
y
,
z
)
cos
∠
(
i
→
,
τ
→
)
|
d
r
|
;
{\displaystyle \int _{l}f_{x}(x,y,z)dx=\int _{l}f_{x}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {i}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;}
∫
l
f
y
(
x
,
y
,
z
)
d
y
=
∫
l
f
y
(
x
,
y
,
z
)
cos
∠
(
j
→
,
τ
→
)
|
d
r
|
;
{\displaystyle \int _{l}f_{y}(x,y,z)dy=\int _{l}f_{y}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {j}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;}
∫
l
f
z
(
x
,
y
,
z
)
d
z
=
∫
l
f
z
(
x
,
y
,
z
)
cos
∠
(
k
→
,
τ
→
)
|
d
r
|
.
{\displaystyle \int _{l}f_{z}(x,y,z)dz=\int _{l}f_{z}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {k}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |.}
A
=
∫
l
F
⋅
d
r
.
{\displaystyle A=\int _{l}\mathbf {F\cdot dr} .}
Масса m криволинейного (бесконечно тонкого) тела l , линейная плотность которого вдоль кривой l равна μ (r ), выражается интегралом
m
=
∫
l
μ
(
r
)
|
d
r
|
.
{\displaystyle m=\int _{l}\mathbf {\mu (r)|dr|} .}
Центр масс (центра тяжести) криволинейного тела l с линейной плотностью μ (r ) выражается через радиус-вектор r c как
r
c
=
1
m
∫
l
μ
(
r
)
r
|
d
r
|
,
{\displaystyle \mathbf {r} _{c}={\frac {1}{m}}\int _{l}\mu (\mathbf {r} )\mathbf {r|dr|} ,}
где m — масса кривой l .
Моменты инерции кривой l при её вращении вокруг координатных осей в 3-мерном пространстве:
I
x
=
∫
l
(
y
2
+
z
2
)
μ
(
r
)
|
d
r
|
,
{\displaystyle I_{x}=\int _{l}(y^{2}+z^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,}
I
y
=
∫
l
(
z
2
+
x
2
)
μ
(
r
)
|
d
r
|
,
{\displaystyle I_{y}=\int _{l}(z^{2}+x^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,}
I
z
=
∫
l
(
x
2
+
y
2
)
μ
(
r
)
|
d
r
|
.
{\displaystyle I_{z}=\int _{l}(x^{2}+y^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} .}
Сила притяжения точечной массы m 0 в начале координат с криволинейным телом l равна
F
=
γ
m
0
∫
l
μ
(
r
)
r
3
|
d
r
|
,
{\displaystyle \mathbf {F} =\gamma m_{0}\int _{l}{\frac {\mu (\mathbf {r} )}{r^{3}}}|\mathbf {dr} |,}
где μ (r ) — линейная плотность кривой l , γ — гравитационная постоянная .
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах