Задача Штурма — Лиувилля ({g;gcg Omrjbg — Lnrfnllx)
Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке уравнения Штурма — Лиувилля
удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям
и значений параметра , при которых такие решения существуют.
Оператор здесь — это действующий на функцию линейный дифференциальный оператор второго порядка вида
(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), — вещественный аргумент.
Функции предполагаются непрерывными на , кроме того функции положительны на .
Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения , при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).
Постановка задачи
[править | править код]Вид уравнения
[править | править код]Если функции и дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке и функция непрерывна на , то уравнение Штурма — Лиувилля вида
при помощи преобразования Лиувилля приводится к виду[1][2]
Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию называют потенциалом[3][4]. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными, (суммируемыми), и других.
Виды краевых условий
[править | править код]- Условия Дирихле
- Условия Неймана
- Условия Робена
- Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка .
- Распадающиеся краевые условия общего вида
- Периодические условия .
- Антипериодические условия .
- Общие краевые условия
В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты .[3][5]
Для удобства произвольный отрезок часто переводят в отрезок или с помощью замены переменной.
Оператор Штурма — Лиувилля
[править | править код]Оператор Штурма — Лиувилля
представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора[6]
Область определения оператора состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке функций , удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора : . Если функции и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор является самосопряжённым в гильбертовом пространстве . Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом .
Решение задачи
[править | править код]Пример
[править | править код]Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:
может быть найдено в явном виде[7]. Пусть . Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном имеет вид
(в частности, при (3) дает ). Из следует . Подставляя (3) в краевое условие , получаем . Так как мы ищем нетривиальные решения, то , и мы приходим к уравнению на собственные значения
Его корни , следовательно, искомые собственные значения имеют вид
а соответствующие им собственные функции суть
(с точностью до постоянного множителя).
Общий случай
[править | править код]В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля
представимо в виде линейной комбинации
его решений и , удовлетворяющих начальным условиям
- .
Решения и образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по при каждом фиксированном . (При , , ). Подставляя (5) в краевые условия , получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции
аналитической во всей -плоскости.[4]
В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:
(в случае непрерывного на потенциала ).[8] При больших собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.
Свойства собственных значений и собственных функций
[править | править код]- Существует бесконечное счетное множество собственных значений:
- Каждому собственному значению соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция .
- Все собственные значения вещественны.
- В случае граничных условий и при выполнении условия все собственные значения положительны .
- Собственные функции образуют на ортогональную с весом систему :
- Имеет место теорема Стеклова.
Численные методы решения
[править | править код]- Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле , можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями , и вести пристрелку параметра до выполнения правого краевого условия.[9]
- Метод конечных разностей[10][11]. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
- Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция дополняется компонентой . Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.[12]
- Метод Галёркина.[13]
- Вариационные методы.[14]
Применение к решению уравнений в частных производных
[править | править код]Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных.
В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа:
Здесь и — независимые переменные, — неизвестная функция, , , , , — известные функции, — вещественные числа.[15] Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде
Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает
Так как и — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через . Получаем
Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает
Нетривиальные решения (6) — (7) вида (9) существуют только при значениях , являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11) — (12) . Эти решения имеют вид , где — собственные функции задачи (11) — (12), — решения уравнения (10) при . Решение задачи (6) — (8) находится в виде суммы частных решений (ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля ):
Обратные задачи Штурма — Лиувилля
[править | править код]Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала оператора Штурма — Лиувилля и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам.[8][3][4] Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их обобщения имеют приложения в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Существует важный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (например, уравнения КдФ), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси ().
Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:
- Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
- Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве .
- Функцию Вейля — мероморфную функцию, равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.
Каждый из наборов данных 1 — 3 однозначно определяет потенциал . Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1 — 3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах.[4]
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Левитан, Саргсян, 1988, с. 10.
- ↑ Юрко, 2010, с. 45.
- ↑ 1 2 3 Марченко, 1977.
- ↑ 1 2 3 4 Юрко, 2007.
- ↑ Наймарк, 1969, с. 72.
- ↑ Наймарк, 1969.
- ↑ Юрко, 2010, с. 25.
- ↑ 1 2 Левитан, Саргсян, 1988.
- ↑ Калиткин, 1978, с. 281.
- ↑ Калиткин, 1978, с. 284.
- ↑ Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — Бином, 2008. — ISBN 978-5-94774-815-4.
- ↑ Калиткин, 1978, с. 286.
- ↑ Калиткин, 1978, с. 287.
- ↑ Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — 1961.
- ↑ Юрко, 2010, с. 30.
Литература
[править | править код]- Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с. — ISBN 5-02-013751-0.
- Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977.
- Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма — Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Изд-во Московского университета, 2009. — 184 с. — ISBN 978-5-211-05557-5.
- Юрко В. А. Уравнения математической физики. — Саратов, 2010.
- Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. — М.: Физматлит, 2007. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-07.
- Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
- Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.