Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции
f
{\displaystyle f}
с периодом
2
π
{\displaystyle 2\pi }
в виде ряда
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
n
x
+
b
n
sin
n
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}
(1)
или с использованием комплексной записи, в виде ряда:
f
(
x
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
f
^
k
e
i
k
x
{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}}
.
Пусть
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
,
ϕ
m
{\displaystyle \phi _{m}}
— две функции пространства
L
2
[
−
τ
2
,
τ
2
]
{\displaystyle L^{2}\left[-{\frac {\tau }{2}},{\frac {\tau }{2}}\right]}
. Определим их скалярное произведение
⟨
ϕ
m
(
x
)
,
ϕ
n
(
x
)
⟩
:=
∫
−
τ
2
τ
2
ϕ
m
(
x
)
ϕ
n
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle \phi _{m}(x),\phi _{n}(x)\rangle :=\int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)dx}
Условие ортогональности
∫
−
τ
2
τ
2
ϕ
m
(
x
)
ϕ
n
(
x
)
d
x
=
‖
ϕ
m
(
x
)
‖
2
δ
n
m
{\displaystyle \int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)dx=\|\phi _{m}(x)\|^{2}\delta _{nm}}
где
δ
n
m
{\displaystyle \delta _{nm}}
— символ Кронекера . Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при
n
=
m
{\displaystyle n=m}
или нулю в противном случае.
Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида
sin
(
k
x
)
{\displaystyle \sin(kx)}
,
cos
(
k
x
)
{\displaystyle \cos(kx)}
попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных
k
≠
l
{\displaystyle k\neq l}
:
∫
−
π
π
sin
(
k
x
)
sin
(
l
x
)
d
x
=
∫
−
π
π
cos
(
k
x
)
cos
(
l
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(kx)\sin(lx)dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(kx)\cos(lx)dx=0}
и при всех целых неотрицательных
k
{\displaystyle k}
,
l
{\displaystyle l}
∫
−
π
π
cos
(
k
x
)
sin
(
l
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(kx)\sin(lx)dx=0}
.
Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве
L
2
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}
. Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида
cos
(
k
x
)
,
sin
(
k
x
)
,
k
∈
Z
{\displaystyle \cos(kx),\sin(kx),k\in \mathbb {Z} }
, то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду ).
Тригонометрическим рядом Фурье функции
f
∈
L
2
(
[
−
π
,
π
]
)
{\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}
называют функциональный ряд вида
f
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
∞
(
a
n
cos
n
x
+
b
n
sin
n
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}
(1)
где
a
0
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,}
a
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
cos
(
n
x
)
d
x
,
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,}
b
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
sin
(
n
x
)
d
x
.
{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx.}
Числа
a
0
{\displaystyle a_{0}}
,
a
n
{\displaystyle a_{n}}
и
b
n
{\displaystyle b_{n}}
(
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=1,2,\ldots }
) называются коэффициентами Фурье функции
f
{\displaystyle f}
. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию
f
∈
L
2
(
[
−
π
,
π
]
)
{\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}
в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты
a
0
{\displaystyle a_{0}}
,
a
n
{\displaystyle a_{n}}
и
b
n
{\displaystyle b_{n}}
. Если умножить правую часть (1) на
cos
(
k
x
)
{\displaystyle \cos(kx)}
и проинтегрировать по промежутку
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
, благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент
a
k
{\displaystyle a_{k}}
. Аналогично для
b
k
{\displaystyle b_{k}}
Ряд (1) сходится к функции
f
{\displaystyle f}
в пространстве
L
2
(
[
−
π
,
π
]
)
{\displaystyle L_{2}([-\pi ,\pi ])}
. Иными словами, если обозначить через
S
k
(
x
)
{\displaystyle S_{k}(x)}
частичные суммы ряда (1):
S
k
(
x
)
=
a
0
2
+
∑
n
=
1
k
(
a
n
cos
n
x
+
b
n
sin
n
x
)
{\displaystyle S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}
,
то их среднеквадратичное отклонение от функции
f
{\displaystyle f}
будет стремиться к нулю:
lim
k
→
∞
∫
−
π
π
(
f
(
x
)
−
S
k
(
x
)
)
2
d
x
=
0
{\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0}
.
Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство
L
2
(
[
−
π
,
π
]
,
C
)
{\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}
комплекснозначных функций со скалярным произведением
⟨
f
,
g
⟩
:=
∫
−
π
π
f
(
x
)
g
(
x
)
¯
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx}
.
Мы также рассматриваем систему функций
φ
k
(
x
)
=
e
i
k
x
=
cos
(
k
x
)
+
i
sin
(
k
x
)
,
k
∈
Z
{\displaystyle \varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z} }
.
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция
f
∈
L
2
(
[
−
π
,
π
]
,
C
)
{\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}
может быть разложена по ним в ряд Фурье:
f
(
x
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
f
^
k
e
i
k
x
{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}}
,
где ряд в правой части сходится к
f
{\displaystyle f}
по норме в
f
∈
L
2
(
[
−
π
,
π
]
,
C
)
{\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}
. Здесь
f
^
k
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
e
−
i
k
x
d
x
{\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx}
.
Коэффициенты :
f
^
k
{\displaystyle {\hat {f}}_{k}}
связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:
f
^
k
=
(
a
k
−
i
b
k
)
/
2
,
k
>
0
;
{\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0;}
f
^
0
=
a
0
/
2
;
{\displaystyle {\hat {f}}_{0}=a_{0}/2;}
f
^
k
=
(
a
|
k
|
+
i
b
|
k
|
)
/
2
,
k
<
0
;
{\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0;}
a
k
=
f
^
k
+
f
^
−
k
,
k
>
0
;
{\displaystyle a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0;}
b
k
=
i
(
f
^
k
−
f
^
−
k
)
,
k
>
0.
{\displaystyle b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0.}
Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения
f
^
k
{\displaystyle {\hat {f}}_{k}}
и
f
^
−
k
{\displaystyle {\hat {f}}_{-k}}
не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.
Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве
L
2
(
[
−
π
,
π
]
,
C
)
{\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}
.
Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:
(
α
f
+
β
g
)
^
k
=
α
f
^
k
+
β
g
^
k
{\displaystyle {\widehat {(\alpha f+\beta g)}}_{k}=\alpha {\hat {f}}_{k}+\beta {\hat {g}}_{k}}
Справедливо равенство Парсеваля :
2
π
∑
k
=
1
∞
|
f
|
^
k
2
=
‖
f
‖
2
{\displaystyle 2\pi \sum _{k=1}^{\infty }{\hat {|f|}}_{k}^{2}=\|f\|^{2}}
.
Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:
(
f
′
)
^
k
=
i
k
f
^
k
{\displaystyle {\widehat {(f')}}_{k}=ik{\hat {f}}_{k}}
коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются свёрткой коэффициентов Фурье сомножителей:
(
f
g
)
^
k
=
∑
j
=
−
∞
∞
f
^
j
g
^
k
−
j
{\displaystyle {\widehat {(fg)}}_{k}=\sum \limits _{j=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{j}{\hat {g}}_{k-j}}
рассмотрим операцию свертки функций:
(
f
∗
g
)
(
t
)
:=
∫
−
π
π
f
(
t
−
x
)
g
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle (f\ast g)(t):=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t-x)g(x)dx,}
где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
на всю прямую. Тогда
(
f
∗
g
)
^
k
=
2
π
f
^
k
g
^
k
{\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}_{k}=2\pi {\hat {f}}_{k}{\hat {g}}_{k}}
Функция
Ряд Фурье
4
a
π
(
sin
t
1
+
sin
3
t
3
+
sin
5
t
5
+
…
)
{\displaystyle {\frac {4a}{\pi }}\left({\frac {\sin t}{1}}+{\frac {\sin 3t}{3}}+{\frac {\sin 5t}{5}}+\dots \right)}
4
a
π
∑
n
=
1
∞
1
2
n
−
1
sin
2
π
(
2
n
−
1
)
t
T
{\displaystyle {\frac {4a}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\sin {\frac {2\pi (2n-1)t}{T}}}
Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М. : «Наука», 1964. — Т. 2.