Мера Хаара (Byjg }ggjg)

Пусть $G$ — локально компактная хаусдорфова топологическая группа.

Левой мерой Хаара в $G$ называется мера $\mu _{l}$, определенная на σ-кольце, порожденном всеми компактными множествами, не равная тождественно нулю, конечная на компактных множествах и такая, что

$\mu _{l}(gE)=\mu _{l}(E)$

для любых $g\in G$ и $E$ из области определения $\mu _{l}$.

Правая мера Хаара $\mu _{r}$ определяется аналогично заменой условия $\mu _{l}(gE)=\mu _{l}(E)$ на условие $\mu _{r}(Eg)=\mu _{r}(E)$.

Свойства

• В любой локально компактной топологической группе типа существует и единственна с точностью до мультипликативной положительной постоянной левая (и правая) мера Хаара.
• Для компактных групп, любая левая мера Хаара также является правой.
• Для некомпактных групп, существует гомоморфизм $f\colon G\to \mathbb {R} _{+}$, такой что мера $f\cdot \mu _{l}$ является правой мерой Хаара.

Примеры

• Мера Лебега в $\mathbb {R} ^{n}$ является частным случаем меры Хаара.

Литература

• Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. — М.: ИЛ, 1950. — 222 с.
• Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973. — 519 с.