Верзиера (Fyj[nyjg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Верзиера

Верзие́ра (иногда ло́кон Анье́зи) (англ. witch of Agnesi — ведьма Аньези[1][2][3]; англ. versiera — ведьма с итальянского) — плоская кривая, геометрическое место точек , для которых выполняется соотношение , где  — диаметр окружности,  — полухорда этой окружности, перпендикулярная [4]. Своё название верзиера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую[1][4][5][6][7][8][9][10][11].

Устаревший термин верзье́ра Анье́зи[4][12].

Обобщения верзиеры:

  • аньезиана — прямая занимает произвольное положение, перпендикулярное [13][14];
  • агвинея Ньютона — не только прямая , но и полюс занимает произвольное положение на [8][15].

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзиерой (итал. Versiera, от лат. Versoria), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзус[16][17].

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзиерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch)[18]. Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of Agnesi[3].

В источниках встречаются следующие синонимы верзиеры.

  • Наиболее известный синоним — локон Аньези (англ. Agnesi curl)[1][2][6][7][8][9][10][11][16]. Это курьезное название, возможно, исторически не обосновано[16].
  • Естественное название по классификации кривой — кубика Аньези (англ. cubic of Agnesi)[2].
  • Естественное название по форме кривой — колоколообразная кривая Коши (англ. bell curve of Cauchy)[2].
  • Устаревшие названия:
  • верзьера Аньези[4][12];
  • аньезера [19];
  • версьера [19].

  • Параметрическое уравнение[2][21]:

где  — угол между и

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства верзиеры[2][14][9][7][15]:

  • верзиера — кривая третьего порядка;
  • диаметр — единственная ось симметрии кривой;
  • кривая имеет один максимум и две точки перегиба
  • в окрестности вершины верзиера приближается к окружности диаметра . В точке происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке :
  • площадь под графиком . Она вычисляется интегрированием уравнения по всему
  • объём тела вращения верзиеры вокруг своей асимптоты (оси )

Построение

[править | править код]
Построение верзиеры

Строится окружность диаметра и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится произвольная прямая через выбранную точку касательной, которая пересекается с окружностью и касательной прямой в точке окружности, противоположной началу координат. Через точку пересечения произвольной прямой с окружностью строится прямая, параллельная касательным. Точка верзиеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра, опущенного из точки пересечения произвольной прямой к касательной в точке, противоположной началу координат (см. рисунок справа)[1][20].

Интересные факты

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 4 Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 90.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 Ferréol Robert. Witch of Agnesi, 2019.
  3. 1 2 Weisstein Eric W. Witch of Agnesi, 2024.
  4. 1 2 3 4 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 2006, § 506. Верзьера Аньези, с. 870.
  5. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, 4. Верзиера, с. 89.
  6. 1 2 Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Аньезиана, с. 66.
  7. 1 2 3 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 214.
  8. 1 2 3 Иванов А. Б. Аньези локон, 1977.
  9. 1 2 3 Аньези локон, 1988.
  10. 1 2 Аньези локон, 1970.
  11. 1 2 Линия, 1973, с. 467—468.
  12. 1 2 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1956.
  13. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 73, 215.
  14. 1 2 Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, § 2. Атлас кривых. Аньезиана, с. 60.
  15. 1 2 Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, 4. Верзиера, с. 90.
  16. 1 2 3 Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 2006, § 506. Верзьера Аньези, с. 872.
  17. Truesdell C. Corrections and Additions for “Maria Gaetana Agnesi”, 1992.
  18. Pietro Fanfani. Vocabolario dell' uso toscano, 1863.
  19. 1 2 Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М. Кривые на плоскости и в пространстве, 1997, с. 326.
  20. 1 2 3 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 73, 214.
  21. 1 2 Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 91.
  22. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 5.13. Piriform (De Longchamps, 1886), с. 91.
  23. Локон красавицы и арбалет великана: тренажер «Нитка» — прошлое и будущее, 2012.