PSL(2,7) (PSL(2,7))
В математике проективная специальная линейная группа PSL(2, 7) (изоморфная GL(3, 2)) — это конечная простая группа, имеющая важные приложения в алгебре, геометрии и теории чисел. Она является группой автоморфизмов квартики Клейна[англ.], а также группой симметрии плоскости Фано. Имея 168 элементов, PSL(2, 7) является второй по величине из самых маленьких неабелевых простых групп (первой является знакопеременная группа A5 на пяти буквах и имеющая 60 элементов — группа вращений икосаэдральной симметрии) .
Определение
[править | править код]Полная линейная группа GL(2, 7) состоит из всех обратимых 2×2 матриц над F7, конечным полем из семи элементов, то есть имеющих ненулевые определители. Подгруппа SL(2, 7) состоит из всех матриц с единичным определителем. Таким образом, PSL(2, 7) является факторгруппой
- SL(2, 7)/{I, −I},
полученной отождествлением I и −I, где I — единичная матрица. В данной статье мы подразумеваем под G любую группу, изоморфную PSL(2, 7).
Свойства
[править | править код]G = PSL(2, 7) имеет 168 элементов. Это можно видеть, посчитать возможные столбцы. Имеется 72−1 = 48 возможностей для первого столбца, 72−7 = 42 возможностей для второго столбца. Мы должны разделить на 7−1 = 6, чтобы добиться равенства определителя единице, а затем мы должны разделить на 2, когда мы отождествляем I и −I. Результат равен (48×42)/(6×2) = 168.
Общеизвестно, что PSL(n, q) является простой для n, q ≥ 2 (где q — некоторая степень простого числа), если не (n, q) = (2, 2) или (2, 3). PSL(2, 2) изоморфна симметрической группе S3, и PSL(2, 3) изоморфна знакопеременной группе A4. Фактически, PSL(2, 7) является второй по величине из неабелевых простых групп после знакопеременной группы A5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).
Число классов сопряжённости и число неприводимых представлений равно 6. Число классов равно 1, 21, 42, 56, 24, 24. Размерности неприводимых представлений равны 1, 3, 3, 6, 7, 8.
Таблица характеров
где:
Следующая таблица описывает классы сопряжённости в терминах порядка элементов в классах, числа классов, минимальный многочлен всех представлений в GL(3, 2) и запись функции для представления в PSL(2, 7).
Порядок | Размер | Мин. Полином | Функция |
---|---|---|---|
1 | 1 | x+1 | x |
2 | 21 | x2+1 | −1/x |
3 | 56 | x3+1 | 2x |
4 | 42 | x3+x2+x+1 | 1/(3−x) |
7 | 24 | x3+x+1 | x + 1 |
7 | 24 | x3+x2+1 | x + 3 |
Порядок группы равен 168=3*7*8, откуда следует существование подгрупп Силова порядков 3, 7 и 8. Легко описать первые две — они циклические, поскольку любая группа с простым порядком циклическая. Любой элемент класса сопряжённости 3A56 образует силовскую 3-подгруппу. Любой элемент классов сопряжённости 7A24, 7B24 образует силовскую 7-подгруппу. Силовская 2-подгруппа является диэдральной группой порядка 8. Её можно описать как централизатор любого элемента из класса сопряжённости 2A21. В представлении GL(3, 2) силовская 2-подгруппа состоит из верхних треугольных матриц.
Эта группа и её силовская 2-подгруппа дают контрпример для различных теорем о нормальном p-дополнении[англ.] для p = 2.
Действия на проективные пространства
[править | править код]G = PSL(2, 7) действует посредством дробно-линейного преобразования на проективную прямую P1(7) над полем из 7 элементов:
Для и
Каждый сохраняющий ориентацию автоморфизм прямой P1(7) получается таким способом, а тогда, G = PSL(2, 7) можно понимать геометрически как группу симметрий проективной прямой P1(7). Полная группа возможных автоморфизмов, сохраняющих ориентацию, является расширением порядка 2 группы PGL(2, 7) и группа колинеаций[англ.] проективной прямой является полной симметрической группы точек.
Однако PSL(2, 7) также изоморфна группе PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2)), специальной (общей) линейной группе 3×3 матриц над полем с 2 элементами. Подобным же образом G = PSL(3, 2) действует на проективную плоскость P2(2) над полем с 2 элементами, известную также как плоскость Фано:
Для и
Снова любой автоморфизм P2(2) получается таким образом, а тогда G = PSL(3, 2) можно геометрически понимать как группу симметрии этой проективной плоскости. Плоскость Фано можно описать как произведение октонионов.
Симметрии квартики Клейна
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Uniform_tiling_73-t0.png/220px-Uniform_tiling_73-t0.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Uniform_tiling_73-t2.png/220px-Uniform_tiling_73-t2.png)
Квартика Клейна[англ.] является проективным многообразием над комплексными числами C, определённое многочленом четвёртой степени
- x3y + y3z + z3x = 0.
Оно является компактной римановой поверхностью рода g = 3 и является единственной такой поверхностью, для которой размер конформной группы автоморфизмов достигает максимума 84(g−1). Эта граница возникает вследствие теоремы Гурвица об автоморфизмах, которая выполняется для всех g>1. Такие "поверхности Гурвица" редки. Следующий род, для которого такая поверхность существует, это g = 7, а следующий за ним — g = 14.
Как и для всех поверхностей Гурвица, квартикам Клейна можно задать метрику постоянной отрицательной кривизны и затем замостить правильными (гиперболическими) семиугольниками, как факторпространство семиугольной мозаики порядка 3. Для квартики Клейна это даёт мозаику из 24 семиугольников. Двойственно, она может быть замощена 56 равносторонними треугольниками с 24 вершинами, каждая 7-го порядка, как факторпространство треугольной мозаики порядка 7[англ.].
Квартика Клейна возникает во многих областях математики, включая теорию представлений, теории гомологий, умножении октонионов, великую теорему Ферма.
Группа Матьё
[править | править код]PSL(2, 7) является максимальной подгруппой группы Матьё M21. Группы Матьё M21 и M24 могут быть построены как расширения PSL(2, 7). Эти расширения можно интерпретировать в терминах мозаик квартики Клейна, но нельзя реализовать геометрическими симметриями мозаик [1].
Действия группы
[править | править код]PSL(2, 7) действует на различные множества:
- Если интерпретировать её как линейные автоморфизмы проективной прямой над F7, она действует 2-транзитивно на множество из 8 точек со стабилизатором порядка 3. (PGL(2, 7) действует строго 3-транзитивно с тривиальным стабилизатором.)
- Если интерпретировать её как автоморфизмы мозаики квартики Клейна, она действует транзитивно на 24 вершины (или, двойственно, на 24 семиугольника) со стабилизатором порядка 7 (соответствующего вращению вокруг вершины/семиугольника).
- Если интерпретировать её как подгруппу группы Матьё M21, действующей на 21 точку, она не действует транзитивно на 21 точку.
Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- David A. Richter. How to Make the Mathieu Group M24.
Для дальнейшего чтения
[править | править код]- Ezra Brown, Nicholas Loehr. Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)? // Am. Math. Mon.. — 2009. — Т. 116, вып. 8. — С. 727–732. — doi:10.4169/193009709X460859.
Ссылки
[править | править код]- The Eightfold Way: the Beauty of Klein's Quartic Curve (Silvio Levy, ed.)
- This Week's Finds in Mathematical Physics - Week 214 (John Baez)
- The Klein Quartic in Number Theory (Noam Elkies)
- Projective special linear group:PSL(3,2)
Для улучшения этой статьи желательно:
|