Тетраэдр Гурса (Mymjgz;j Irjvg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
В евклидовом 3-пространстве существует 3 простых тетраэдра Гурса, которые представляются символами [4,3,4], [4,31,1] и [3[4]]. Они могут рассматриваться как точки на кубе и внутри куба {4,3}.

Тетраэдр Гурсатетраэдральная фундаментальная область построения Витхоффа. Каждая грань тетраэдра представляет зеркальную гиперплоскость на 3-мерной поверхности — 3-сферы, евклидового 3-мерного пространства и гиперболического 3-мерного пространства. Коксетер назвал область именем Эдуара Гурса, который первым обратил внимание на эти области. Тетраэдр Гурса является расширением теории треугольников Шварца для построения Витхоффа на сфере.

Графическое представление

[править | править код]

Тетраэдр Гурса может быть представлен графически тетраэдральным графом, который является двойственной конфигурацией фундаментальной области в виде тетраэдра. В этом графе каждый узел представляет грань (зеркало) тетраэдра Гурса. Каждое ребро помечено рациональным числом, соответствующим порядку отражения, который равен /двугранный угол.

4-вершинная диаграмма Коксетера — Дынкина представляет эти тетраэдральные графы со скрытыми рёбрами второго порядка. Если много рёбер имеют порядок 2, группа Коксетера может быть представлена скобочной нотацией[англ.].

Для существования тетраэдра Гурса каждый из подграфов с 3 вершинами этого графа, (p q r), (p u s), (q t u) и (r s t), должны соответствовать треугольнику Шварца.

Внешняя симметрия

[править | править код]
Симметрия тетраэдра Гурса может быть тетраэдральной симметрией любой подгруппы симметрии, показанной в дереве цветом рёбер.

Расширенная симметрия тетраэдра Гурса является полупрямым произведением группы Коксетера симметрии и фундаментальной области симметрии (тетраэдра Гурса, в этом случае). Нотация Коксетера[англ.] поддерживает эту симметрию как вложенные скобки, наподобие [Y[X]], что означает полную группу Коксетера симметрии [X] с Y в качестве симметрии тетраэдра Гурса. Если Y является чистой зеркальной симметрией, группа будет представлять другую группу Коксетера отражений. Если имеется только одна простая удваивающая симметрия, Y может быть выражена явно, наподобие [[X]] с зеркальной или вращательной симметрией, в зависимости от контекста.

Расширенная симметрия каждого тетраэдра Гурса задана ниже. Наивысшая возможная симметрия у правильного тетраэдра, [3,3], и она достигается на призматической точечной группе [2,2,2], или [2[3,3]], и на паракомпактной гиперболической группе [3[3,3]].

См. симметрии тетраэдра для 7 симметрий низкого порядка тетраэдра.

Полное число решений

[править | править код]

Последующие секции показывают все из полного набора решений тетраэдров Гурса для 3-сферы, евклидова 3-мерного пространства и гиперболического 3-мерного пространства. Расширенная симметрия каждого тетраэдра тоже указана.

Цветные тетраэдральные диаграммы ниже являются вершинными фигурами всеусечённых[англ.] многогранников и сот из каждого семейства симметрий. Метки рёбер представляют порядки многоугольных граней, которые являются удвоенными порядками ветвей графа Коксетера. Двугранный угол ребра, помеченного 2n, равен . Жёлтые рёбра, помеченные цифрой 4, получаются из прямого угла (несвязанных) зеркал (узлов) диаграммы Коксетера.

(Конечные) решения на 3-сфере

[править | править код]
Изоморфизм конечных групп Коксетера

Решения для 3-сферы с плотностью 1: (однородные многогранники)

Дуопризмы и гиперпризмы:
Группа Коксетера
и диаграмма
[2,2,2]
node2node2node2node
[p,2,2]
nodepnode2node2node
[p,2,q]
nodepnode2nodeqnode
[p,2,p]
nodepnode2nodepnode
[3,3,2]
node3node3node2node
[4,3,2]
node4node3node2node
[5,3,2]
node5node3node2node
Порядок группы симметрии 16 8p 4pq 4p2 48 96 240
Симметрии
тетраэдра
[3,3]
(порядок 24)
[2]
(порядок 4)
[2]
(порядок 4)
[2+,4]
(порядок 8)
[ ]
(порядок 2)
[ ]+
(порядок 1)
[ ]+
(порядок 1)
Расширенные симметрии [(3,3)[2,2,2]]
node_c12node_c12node_c12node_c1
=[4,3,3]
node_c14node3node3node
[2[p,2,2]]
node_c1pnode_c12node_c22node_c2
=[2p,2,4]
node2xpnode_c12node4node_c2
[2[p,2,q]]
node_c1pnode_c12node_c2qnode_c2
=[2p,2,2q]
node2xpnode_c12node2xqnode_c2
[(2+,4)[p,2,p]]
node_c1pnode_c12node_c1pnode_c1
=[2+[2p,2,2p]]
node2xpnode_c12node_c12xpnode
[1[3,3,2]]
node_c13node_c23node_c12node_c3
=[4,3,2]
node4node_c13node_c22node_c3
[4,3,2]
node_c14node_c23node_c32node_c4
[5,3,2]
node_c15node_c23node_c32node_c4
Порядок расширенных групп симметрии 384 32p 16pq 32p2 96 96 240
Тип графа Линейный Трёхлистный
Группа Коксетера
и диаграмма
Пяти-
ячейный
[3,3,3][англ.]
node3node3node3node
Шестнадцати-
ячейный
[4,3,3][англ.]
node4node3node3node
Двадцати-
четырёхъ-
ячейный
[3,4,3][англ.]]]
node3node4node3node
Шестисот-
ячейный
[5,3,3][англ.] [5,3,3][англ.]
node5node3node3node
Полутессеракт
[31,1,1][англ.]
nodessplit2node3node
Вершинная фигура всеусечённых однородных многогранников
Тетраэдр
Порядок
группы симметрии
120 384 1152 14400 192
Тетраэдральная
симметрия
[2]+
(порядок 2)
[ ]+
(порядок 1)
[2]+
(порядок 2)
[ ]+
(порядок 1)
[3]
(порядок 6)
Расширенная
симметрия
[2+[3,3,3]]
branch_c13abnodeab_c2
[4,3,3]
node_c14node_c23node_c33node_c4
[2+[3,4,3]]
label4branch_c13abnodeab_c2
[5,3,3]
node_c15node_c23node_c33node_c4
[3[31,1,1]]
nodeab_c1split2node_c23node_c1
=[3,4,3]
node_c23node_c14node3node
Порядок группы расширенной симметрии 240 384 2304 14400 1152

Решения в евклидовом 3-мерном пространстве

[править | править код]
Изоморфизмы евклидовых групп Коксетера

Решения плотности 1: Выпуклые однородные соты[англ.]:

Тип графа Линейный Трёхлистный Кольцо Призматический Вырожденный
Группа Коксетера
Диаграмма Коксетера
[4,3,4][англ.]
node4node3node4node
[4,31,1][англ.]
nodessplit2node4node
[3[4]][англ.]
branch3abbranch
[4,4,2]
node4node4node2node
[6,3,2]
node6node3node2node
[3[3],2]
branchsplit2node2node
[∞,2,∞]
nodeinfinnode2nodeinfinnode
Вершинная фигура всеусечённых сот
Тетраэдр
Тетраэдральная
симметрия
[2]+
(порядок 2)
[ ]
(порядок 2)
[2+,4]
(порядок 8)
[ ]
(порядок 2)
[ ]+
(порядок 1)
[3]
(порядок 6)
[2+,4]
(порядок 8)
Расширенная
симметрия
[(2+)[4,3,4]]
branch_c24-4nodeab_c1
[1[4,31,1]]
nodeab_c1split2node_c24node_c3
=[4,3,4]
node4node_c13node_c24node_c3
[(2+,4)[3[4]]]
branch_c13abbranch_c1
=[2+[4,3,4]]
branch_c14-4nodes
[1[4,4,2]]
node_c14node_c24node_c12node_c3
=[4,4,2]
node4node_c14node_c22node_c3
[6,3,2]
node_c16node_c23node_c32node_c4
[3[3[3],2]]
branch_c1split2node_c12node_c2
=[3,6,2]
node3node6node_c12node_c2
[(2+,4)[∞,2,∞]]
node_c1infinnode_c12node_c1infinnode_c1
=[1[4,4]]
node4node_c14node

Решения для гиперболических 3-пространств

[править | править код]

Решения плотности 1: (Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве[англ.]) (Компакт (группы симплексов Ланнера))

Группы симплексов Ланнера ранга 4
Тип графа Линейный Трёхлистный
Группа Коксетера
Диаграмма Коксетера
[3,5,3]
node3node5node3node
[5,3,4]
node5node3node4node
[5,3,5]
node5node3node5node
[5,31,1]
node5nodesplit1nodes
Вершинный фигуры всеусечённых сот
Тетраэдр
Тетраэдральная
симметрия
[2]+
(порядок 2)
[ ]+
(порядок 1)
[2]+
(порядок 2)
[ ]
(порядок 2)
Расширенная
симметрия
[2+[3,5,3]]
label5branch_c13abnodeab_c2
[5,3,4]
node_c15node_c23node_c34node_c4
[2+[5,3,5]]
branch_c15a5bnodeab_c2
[1[5,31,1]]
node_c15node_c2split1nodeab_c3
=[5,3,4]
node_c15node_c23node_c34node
Тип графа Кольцо
Группа Коксетера
Диаграмма Коксетера
[(4,3,3,3)]
label4branch3abbranch
[(4,3)2]
label4branch3abbranchlabel4
[(5,3,3,3)]
label5branch3abbranch
[(5,3,4,3)]
label5branch3abbranchlabel4
[(5,3)2]
label5branch3abbranchlabel5
Вершинные фигуры всеусечённых сот
Тетраэдр
Тетраэдральная
симметрия
[2]+
(порядок 2)
[2,2]+
(порядок 4)
[2]+
(порядок 2)
[2]+
(порядок 2)
[2,2]+
(порядок 4)
Расширенная
симметрия
[2+[(4,3,3,3)]]
label4branch_c13abbranch_c2
[(2,2)+[(4,3)2]]
label4branch_c13abbranch_c1label4
[2+[(5,3,3,3)]]
label5branch_c13abbranch_c2
[2+[(5,3,4,3)]]
label5branch_c13abbranch_c2label4
[(2,2)+[(5,3)2]]
label5branch_c13abbranch_c1label5

Решения в паракомпактных гиперболических 3-пространствах

[править | править код]
Здесь показана связь подгрупп паракомпактного гиперболического тетраэдра Гурса. Подгруппы порядка 2 представляют разбиение тетраэдра Гурса плоскостью зеркальной симметрии

Решения плотности 1: (См. Паракомпакт (группы симплексов Козула))

Группы симплексов Козула ранга 4
Тип графа Линейные графы
Группа Коксетера
Диаграмма Коксетера
[6,3,3]
node6node3node3node
[3,6,3]
node3node6node3node
[6,3,4]
node6node3node4node
[6,3,5]
node6node3node5node
[6,3,6]
node6node3node6node
[4,4,3]
node4node4node3node
[4,4,4]
node4node4node4node
Тетраэдральная
симметрия
[ ]+
(порядок 1)
[2]+
(порядок 2)
[ ]+
(порядок 1)
[ ]+
(порядок 1)
[2]+
(порядок 2)
[ ]+
(порядок 1)
[2]+
(порядок 2)
Расширенная
симметрия
[6,3,3]
node_c16node_c23node_c33node_c4
[2+[3,6,3]]
label6branch_c13abnodeab_c2
[6,3,4]
node_c16node_c23node_c34node_c4
[6,3,5]
node_c16node_c23node_c35node_c4
[2+[6,3,6]]
branch_c16a6bnodeab_c2
[4,4,3]
node_c14node_c24node_c33node_c4
[2+[4,4,4]]
label4branch_c14-4nodeab_c2
Тип графа Кольцевые графы
Группа Коксетера
Диаграмма Коксетера
[3[ ]×[ ]]
nodesplit1branchsplit2node
[(4,4,3,3)]
nodesplit1-44nodessplit2node
[(43,3)]
label4branch4-4branch
[4[4]]
label4branch4-4branchlabel4
[(6,33)]
label6branch3abbranch2
[(6,3,4,3)]
label6branch3abbranchlabel4
[(6,3,5,3)]
label6branch3abbranchlabel5
[(6,3)[2]]
label6branch3abbranchlabel6
Тетраэдральная
симметрия
[2]
(порядок 4)
[ ]
(порядок 2)
[2]+
(порядок 2)
[2+,4]
(порядок 8)
[2]+
(порядок 2)
[2]+
(порядок 2)
[2]+
(порядок 2)
[2,2]+
(порядок 4)
Расширенная
симметрия
[2[3[ ]×[ ]]]
node_c2split1branch_c1split2node_c2
=[6,3,4]
node6node_c13node_c24node
[1[(4,4,3,3)]]
node_c1split1-44nodeab_c3split2node_c2
=[3,41,1]
node4node_c3split1-43nodeab_c1-2
[2+[(43,3)]]
label4branch_c14-4branch_c2
[(2+,4)[4[4]]]
label4branch_c14-4branch_c1label4
=[2+[4,4,4]]
label4branch_c14-4nodes
[2+[(6,33)]]
label6branch_c13abbranch_c22
[2+[(6,3,4,3)]]
label6branch_c13abbranch_c2label4
[2+[(6,3,5,3)]]
label6branch_c13abbranch_c2label5
[(2,2)+[(6,3)[2]]]
label6branch_c13abbranch_c1label6
Тип графа Трёхлистный Кольцо с хвостом Симлекс
Группа Коксетера
Диаграмма Коксетера
[6,31,1]
node6nodesplit1nodes
[3,41,1]
node3nodesplit1-44nodes
[41,1,1]
node4nodesplit1-44nodes
[3,3[3]]
node3nodesplit1branch
[4,3[3]]
node4nodesplit1branch
[5,3[3]]
node5nodesplit1branch
[6,3[3]]
node6nodesplit1branch
[3[3,3]]
branchsplitcrossbranch
Тетраэдральная
симметрия
[ ]
(порядок 2)
[ ]
(порядок 2)
[3]
(порядок 6)
[ ]
(порядок 2)
[ ]
(порядок 2)
[ ]
(порядок 2)
[ ]
(порядок 2)
[3,3]
(порядок 24)
Расширенная
симметрия
[1[6,31,1]]
node_c16node_c2split1nodeab_c3
=[6,3,4]
node_c16node_c23node_c34node
[1[3,41,1]]
node_c13node_c2split1-44nodeab_c3
=[3,4,4]
node_c13node_c24node_c34node
[3[41,1,1]]
node_c14node_c2split1-44nodeab_c1
=[4,4,3]
node_c24node_c14node3node
[1[3,3[3]]]
node_c13node_c2split1branch_c3
=[3,3,6]
node_c13node_c23node_c36node
[1[4,3[3]]]
node_c14node_c2split1branch_c3
=[4,3,6]
node_c14node_c23node_c36node
[1[5,3[3]]]
node_c15node_c2split1branch_c3
=[5,3,6]
node_c15node_c23node_c36node
[1[6,3[3]]]
node_c16node_c2split1branch_c3
=[6,3,6]
node_c16node_c23node_c36node
[(3,3)[3[3,3]]]
branch_c1splitcrossbranch_c1
=[6,3,3]
node_c16node3node3node

Рациональные решения

[править | править код]

Существует сотни рациональных решений для 3-сфер, включая эти 6 линейных графов, которые образуют многогранники Шлефли–Гесса, и 11 нелинейных:

Линейные графы
  1. Плотность 4: [3,5,5/2] node3node5node5ratd2node
  2. Плотность 6: [5,5/2,5] node5node5ratd2node5node
  3. Плотность 20: [5,3,5/2] node5node3node5ratd2node
  4. Плотность 66: [5/2,5,5/2] node5ratd2node5node5ratd2node
  5. Плотность 76: [5,5/2,3] node5node5ratd2node3node
  6. Плотность 191: [3,3,5/2] node3node3node5ratd2node
Графы «кольцо с хвостом»:
  1. Плотность 2: label3-2branchsplit2node5node
  2. Плотность 3: label5branchsplit2-5tnode3node
  3. Плотность 5: label5-3branchsplit2-53node3node
  4. Плотность 8: label5-4branchsplit2-55node3node
  5. Плотность 9: branchsplit2-p3node3node
  6. Плотность 14: label5branchsplit2-p3node5node
  7. Плотность 26: label5-3branchsplit2-p3node5node
  8. Плотность 30: branchsplit2-5pnode3node
  9. Плотность 39: label3-2branchsplit2-53node3node
  10. Плотность 46: label5branchsplit2-5tnode5ratd2node
  11. Плотность 115: label5branchsplit2-p3node3node

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Coxeter H. C. M. Table 3: Schwarz’s Triangles // Regular Polytopes (book)[англ.]. — Third edition. — Dover Edition, 1973. — С. 280, Goursat's tetrahedra. — ISBN 0-486-61480-8.
  • N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation). Джонсон доказал, что перечисление тетраэдров Гурса Коксетером полно.
  • Edouard Goursat. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1889. — Вып. 6. — С. 9–102, 80–81 tetrahedra.
  • Klitzing, Richard.Dynkin Diagrams Goursat tetrahedra
  • N.W. Johnson. Главы 11,12,13 // Geometries and Transformations. — 2015.
  • Johnson N. W., Kellerhals R., Ratcliffe J. G., Tschantz S. T. Transformation Groups // The size of a hyperbolic Coxeter simplex. — 1999. — Т. 4. — С. 329–353.