Простая группа (Hjkvmgx ijrhhg)
Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.
Конечные простые группы полностью классифицированы в 1982.
В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.
В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли.
Примеры
[править | править код]Конечные простые группы
[править | править код]Циклическая группа проста. Действительно, если — подгруппа , то порядок по теореме Лагранжа должен делить порядок , равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть либо тривиальна, либо совпадает с . Наоборот, группа простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в . Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.
Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — знакопеременная группа порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна . Более того, простыми являются все группы при . Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после — специальная проективная группа порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна .
Бесконечные простые группы
[править | править код]Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества ; в частности, если множество счётно, это бесконечная знакопеременная группа . Ещё одним семейством примером служат , где поле бесконечно и .
Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.
Свойства
[править | править код]- Всякая группа вложима в простую группу.
См. также
[править | править код]Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|