Функция f является моногенной , только если df (zX ) = z df (X ), где z — любое комплексное число. Условия Коши — Римана , называемые также условиями Даламбера — Эйлера , — соотношения, связывающие вещественную
u
=
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u=u(x,y)}
v
=
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v=v(x,y)}
функции комплексного переменного
w
=
f
(
z
)
=
u
+
i
v
,
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy}
Для того чтобы функция
w
=
f
(
z
)
{\displaystyle w=f(z)}
D
{\displaystyle D}
комплексной плоскости , была дифференцируема в точке
z
0
=
x
0
+
i
y
0
{\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}
z
{\displaystyle z}
необходимо и достаточно , чтобы её вещественная и мнимая части
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
;
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};}
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
.
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}
Компактная запись:
∂
f
∂
x
+
i
∂
f
∂
y
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0,}
∂
f
∂
x
=
1
i
∂
f
∂
y
.
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.}
Если условия Коши — Римана выполнены, то производная
f
′
(
z
)
{\displaystyle f'(z)}
f
′
(
z
)
=
∂
u
∂
x
+
i
∂
v
∂
x
=
∂
v
∂
y
−
i
∂
u
∂
y
=
∂
u
∂
x
−
i
∂
u
∂
y
=
∂
v
∂
y
+
i
∂
v
∂
x
=
=
∂
f
∂
x
=
1
i
∂
f
∂
y
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(z)&={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}=\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.\\\end{aligned}}}
По условию теоремы существует предел
f
′
(
z
0
)
=
lim
Δ
z
→
0
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
,
{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}},}
не зависящий от способа стремления
Δ
z
{\displaystyle \Delta z}
Вещественное приращение. Положим
Δ
z
=
Δ
x
{\displaystyle \Delta z=\Delta x}
lim
Δ
z
→
0
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
z
0
+
Δ
x
)
−
f
(
z
0
)
Δ
x
.
{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x}}.}
Существование комплексного предела
lim
Δ
z
→
0
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}}
lim
Δ
x
→
0
f
(
z
0
+
Δ
x
)
−
f
(
z
0
)
Δ
x
.
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x}}.}
z 0 существует частная производная функции f (z ) по x и имеет место формула
lim
Δ
z
→
0
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
=
∂
f
(
z
0
)
∂
x
0
.
{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}.}
Чисто мнимое приращение.
Δ
z
=
i
Δ
y
{\displaystyle \Delta z=i\Delta y}
lim
Δ
z
→
0
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
=
lim
Δ
y
→
0
f
(
z
0
+
i
Δ
y
)
−
f
(
z
0
)
i
Δ
y
=
1
i
∂
f
(
z
0
)
∂
y
0
.
{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim \limits _{\Delta y\to 0}{\frac {f(z_{0}+i\Delta y)-f(z_{0})}{i\Delta y}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}.}
Это означает, что если функция дифференцируема, то производные функции по x и по y точно одинаковы, то есть необходимость условий Коши — Римана доказана.
Иными словами, нужно доказать в обратную сторону — что если производные функции по x и по y действительно одинаковы, то функция оказывается дифференцируемой вообще в любых направлениях.
Следуя определению дифференцируемости, приращение функции
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
окрестности точки
z
0
{\displaystyle z_{0}}
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
=
∂
f
(
z
0
)
∂
x
0
Δ
x
+
∂
f
(
z
0
)
∂
y
0
Δ
y
+
ξ
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}\Delta y+\xi (x,y),}
где комплекснозначная функция
ξ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \xi (x,y)}
(
x
,
y
)
→
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Δ
y
,
{\displaystyle \Delta y,}
lim
Δ
z
→
0
ξ
(
x
,
y
)
Δ
z
=
lim
Δ
z
→
0
ξ
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
+
Δ
y
)
Δ
z
=
0.
{\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)}{\Delta z}}=0.}
Составим теперь разностное соотношение
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
{\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}}
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
=
∂
f
(
z
0
)
∂
x
0
Δ
x
+
1
i
∂
f
(
z
0
)
∂
y
0
(
i
Δ
y
)
+
ξ
(
x
,
y
)
Δ
z
.
{\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}(i\Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z}}.}
Теперь, чтобы доказать достаточность условий Коши — Римана, подставим их в разностное соотношение и получим следующее:
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
=
∂
f
(
z
0
)
∂
x
0
Δ
x
+
∂
f
(
z
0
)
∂
x
0
(
i
Δ
y
)
+
ξ
(
x
,
y
)
Δ
z
=
∂
f
(
z
0
)
∂
x
0
+
ξ
(
x
,
y
)
Δ
z
.
{\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}(i\Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z}}={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}+{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z}}.}
Заметим, что при стремлении
Δ
z
{\displaystyle \Delta z}
∂
f
(
z
0
)
∂
z
0
=
lim
Δ
z
→
0
Δ
z
∈
C
f
(
z
0
+
Δ
z
)
−
f
(
z
0
)
Δ
z
=
f
′
(
z
0
)
{\displaystyle {\tfrac {\partial f(z_{0})}{\partial z_{0}}}=\lim _{\underset {\Delta z\in \mathbb {C} }{\Delta z\to 0}}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})}
Δ
z
,
{\displaystyle \Delta z,}
В полярной системе координат
(
r
,
φ
)
{\displaystyle (r,\varphi )}
∂
u
∂
r
=
1
r
∂
v
∂
φ
;
∂
u
∂
φ
=
−
r
∂
v
∂
r
.
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }};\quad {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.}
Компактная запись:
∂
f
∂
r
+
i
r
∂
f
∂
φ
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {i}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}=0.}
Представим исходную функцию в виде
f
(
x
+
i
y
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).}
Выражение декартовых координат через полярные
{
x
=
r
cos
φ
;
y
=
r
sin
φ
.
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos \varphi ;\\y=r\sin \varphi .\end{matrix}}\right.}
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,y)}
{
∂
u
∂
r
=
∂
u
∂
x
∂
x
∂
r
+
∂
u
∂
y
∂
y
∂
r
=
cos
φ
∂
u
∂
x
+
sin
φ
∂
u
∂
y
;
∂
u
∂
φ
=
∂
u
∂
x
∂
x
∂
φ
+
∂
u
∂
y
∂
y
∂
φ
=
−
r
sin
φ
∂
u
∂
x
+
r
cos
φ
∂
u
∂
y
.
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.}
аналогично, вычисляем производные функции
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(x,y)}
{
∂
v
∂
r
=
∂
v
∂
x
∂
x
∂
r
+
∂
v
∂
y
∂
y
∂
r
=
cos
φ
∂
v
∂
x
+
sin
φ
∂
v
∂
y
;
∂
v
∂
φ
=
∂
v
∂
x
∂
x
∂
φ
+
∂
v
∂
y
∂
y
∂
φ
=
−
r
sin
φ
∂
v
∂
x
+
r
cos
φ
∂
v
∂
y
.
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial v}{\partial r}}={\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}};\\{\frac {\partial v}{\partial \varphi }}={\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.}
Перегруппируем и домножим
{
∂
u
∂
r
=
cos
φ
∂
u
∂
x
+
sin
φ
∂
u
∂
y
;
1
r
∂
v
∂
φ
=
cos
φ
∂
v
∂
y
−
sin
φ
∂
v
∂
x
;
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }}=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}-\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}};\end{matrix}}\right.}
{
∂
u
∂
φ
=
−
r
sin
φ
∂
u
∂
x
+
r
cos
φ
∂
u
∂
y
;
−
r
∂
v
∂
r
=
−
r
cos
φ
∂
v
∂
x
−
r
sin
φ
∂
v
∂
y
.
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\-r{\frac {\partial v}{\partial r}}=-r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.}
Используя Условия Коши — Римана в декартовых координатах,
∂
u
∂
r
=
1
r
∂
v
∂
φ
;
∂
u
∂
φ
=
−
r
∂
v
∂
r
.
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }};\quad {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.}
Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:
f
(
z
)
=
R
(
x
,
y
)
e
i
Φ
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle f(z)=R(x,y)e^{i\Phi (x,y)}.}
Тогда условия Коши — Римана связывают модуль
R
{\displaystyle R}
Φ
{\displaystyle \Phi }
∂
R
∂
x
=
R
∂
Φ
∂
y
;
∂
R
∂
y
=
−
R
∂
Φ
∂
x
.
{\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}=R{\frac {\partial \Phi }{\partial y}};\quad {\frac {\partial R}{\partial y}}=-R{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}.}
А если функция и её аргумент выражены в полярной системе одновременно:
f
(
z
)
=
R
(
r
,
φ
)
e
i
Φ
(
r
,
φ
)
,
{\displaystyle f(z)=R(r,\varphi )e^{i\Phi (r,\varphi )},}
то запись приобретает вид:
∂
R
∂
r
=
R
r
∂
Φ
∂
φ
;
R
∂
Φ
∂
r
=
−
∂
R
r
∂
φ
.
{\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial r}}={\frac {R}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }};\quad R{\frac {\partial \Phi }{\partial r}}=-{\frac {\partial R}{r\partial \varphi }}.}
Пусть функция
w
=
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}
z
=
x
+
i
y
,
{\displaystyle z=x+iy,}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
Первое семейство:
u
(
x
,
y
)
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle u(x,y)=const.}
Второе семейство:
v
(
x
,
y
)
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle v(x,y)=const.}
Тогда условия Коши — Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.
Если рассматривать множество комплексных чисел
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
:
C
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
f
′
(
z
)
{\displaystyle f'(z)}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
(
a
b
−
b
a
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}
матрицы Якоби отображения
f
{\displaystyle f}
z
{\displaystyle z}
f
~
:
(
x
,
y
)
↦
(
u
(
x
,
y
)
,
v
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle {\tilde {f}}\colon (x,y)\mapsto {\big (}u(x,y),v(x,y){\big )}}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
f
′
(
z
)
{\displaystyle f'(z)}
f
~
′
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\tilde {f}}'(x,y)}
Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752 ). В работе Эйлера , доложенной Петербургской академии наук в 1777 году , условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.
Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году . Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году .
