Распределение Коши (Jgvhjy;ylyuny Tkon)
Распределение Коши | |
---|---|
![]() Зелёная кривая соответствует стандартному распределению КошиПлотность вероятности | |
![]() Цвета находятся в соответствии с графиком вышеФункция распределения | |
Обозначение | |
Параметры |
— коэффициент сдвига — коэффициент масштаба |
Носитель | |
Плотность вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | не существует |
Медиана | |
Мода | |
Дисперсия | не существует |
Коэффициент асимметрии | не существует |
Коэффициент эксцесса | не существует |
Дифференциальная энтропия | |
Производящая функция моментов | не определена |
Характеристическая функция |
Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца и распределе́нием Бре́йта — Ви́гнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.
Определение
[править | править код]Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью , имеющей вид:
- ,
где
- — параметр сдвига;
- — параметр масштаба.
Тогда говорят, что имеет распределение Коши и пишут . Если и , то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.
Функция распределения
[править | править код]Функция распределения Коши имеет вид:
- .
Она строго возрастает и имеет обратную функцию:
Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.
Моменты
[править | править код]Так как интеграл Лебега
не определён для , ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.
Другие свойства
[править | править код]- Распределение Коши бесконечно делимо.
- Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если , то
Связь с другими распределениями
[править | править код]- Если , то
- .
- Если — независимые нормальные случайные величины, такие что , то
- Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:
- .
Появление в практических задачах
[править | править код]- Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (то есть направление прямой изотропно на плоскости). По сути это означает следующее[1]:
Если , то (−), поэтому . В силу периодичности тангенса равномерность на интервале (−π/2; π/2) одновременно означает равномерность на интервале (−π; π).
- В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
- Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Галкин В. М., Ерофеева Л. Н., Лещева С. В. Оценки параметра распределения Коши. Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева. 2014. № 2(104). С. 314
- ↑ Распределение Коши Архивная копия от 29 июля 2017 на Wayback Machine // risktheory.novosyolov.com