Устойчивое распределение (Rvmkwcnfky jgvhjy;ylyuny)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей — это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

Определение

[править | править код]

Функция распределения называется устойчивой, если для любых действительных чисел найдутся числа такие, что имеет место равенство: , где * - операция свёртки. Если является характеристической функцией устойчивого распределения, то для любых найдутся числа такие, что .[1]

,

где обозначает свёртку.

  • Если  — характеристическая функция устойчивого распределения, то , такие что
.

Свойства устойчивых распределений

[править | править код]
  • Пусть  — независимые одинаково распределённые случайные величины и , где  — некоторые нормирующие и центрирующие константы. Если  — функция распределения случайных величин , то предельными распределениями для при могут быть лишь устойчивые распределения. Верно обратное: для любого устойчивого распределения существует такая последовательность случайных величин , что сходится к при .[1]
  • (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:

где и

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Королюк, 1985, с. 141.

Литература

[править | править код]
  • Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.