Распределение Парето (Jgvhjy;ylyuny Hgjymk)
Распределение Парето | |
---|---|
![]() Плотность вероятности | |
![]() Функция распределения | |
Обозначение | |
Параметры |
— коэффициент масштаба |
Носитель | |
Плотность вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | , если |
Медиана | |
Мода | |
Дисперсия | при |
Коэффициент асимметрии | при |
Коэффициент эксцесса | при |
Дифференциальная энтропия | |
Производящая функция моментов | не определена |
Характеристическая функция |
|
Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических и физических[1]. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.
Определение
[править | править код]Пусть случайная величина такова, что её распределение задаётся равенством
где . Тогда говорят, что имеет распределение Парето с параметрами и . Плотность распределения Парето имеет вид
Моменты
[править | править код]Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой
откуда, в частности,
Приложения
[править | править код]Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода[2]. Его «правило 20 к 80» (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины , и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в его труде «Курс политической экономии» говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.
Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:
- В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
- Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
- Аналогичная кривая для популярности имён.
- Распределение размера населённых пунктов[3].
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Guerriero, V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics (англ.) // Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF). — 2012. — Vol. 1, no. 1. — P. 21—28. Архивировано 5 декабря 2013 года.
- ↑ Pareto, Vilfredo, Cours d’Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pages 299—345.
- ↑ Reed, W. J., Jorgensen, M.. The Double Pareto-Lognormal Distribution — A New Parametric Model for Size Distributions (англ.) // Communications in Statistics: Theory and Methods. — 2004. — Vol. 33, iss. 8. — P. 1733—1753. — doi:10.1081/STA-120037438. Архивировано 5 марта 2016 года.
Литература
[править | править код]- Артюхов В. В. Эффективность // Общая теория систем: Самоорганизация, устойчивость, разнообразие, кризисы. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — С. 60—68. — 224 с. — ISBN 978-5-397-00855-6.