Логнормальное распределение (Lkiukjbgl,uky jgvhjy;ylyuny)
Логнормальное | |
---|---|
![]() μ=0Плотность вероятности | |
![]() μ=0Функция распределения | |
Обозначение | , |
Параметры |
|
Носитель | |
Плотность вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | |
Медиана | |
Мода | |
Дисперсия | |
Коэффициент асимметрии | |
Коэффициент эксцесса | |
Дифференциальная энтропия | |
Производящая функция моментов | |
Характеристическая функция |
Логнорма́льное распределе́ние (логарифмически-нормальное) в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.
Определение
[править | править код]Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид[1]:
где . Тогда говорят, что имеет логнормальное распределение с параметрами и [1]. Пишут: .
Моменты
[править | править код]Формула для -го момента логнормальной случайной величины имеет вид[1]:
откуда, в частности[1]:
- — математическое ожидание,
- — дисперсия,
- Асимметрия всегда положительна.
Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле[источник не указан 187 дней]:
- , где и — параметры многомерного совместного распределения. — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, — второй нецентральный момент первой компоненты, — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.
Свойства логнормального распределения
[править | править код]- Если — независимые логнормальные случайные величины, такие что , то их произведение также логнормально[1]:
- .
Связь с другими распределениями
[править | править код]- Если , то .
И наоборот, если , то .
Моделирование логнормальных случайных величин
[править | править код]Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту[источник не указан 187 дней].
Вариации и обобщения
[править | править код]Одним из возможных обобщений является усечённое логнормальное распределение, описываемое плотностью вероятности[2]:
где .
Приложения
[править | править код]Логнормальное распределение часто возникает в природе и широко используется для описания разных параметров в различных дисциплинах. Например, в медицине его могут применять для инкубационных периодов случаев какого-либо заболевания, в геологии — для концентрации редких элементов в горных породах, в лингвистике — для количества слов в предложениях. Распределение частиц по размерам в разных системах также часто оказывается близко к логнормальному[1][3]. Однако здесь есть исключения, например, распределение астероидов по размерам в Солнечной системе подчиняется степенному закону[4].
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 4 5 6 ЛОГАРИФМИЧЕСКИ-НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ • Большая российская энциклопедия - электронная версия . old.bigenc.ru. Дата обращения: 10 февраля 2024. Архивировано 21 февраля 2023 года.
- ↑ Sílvio M. Duarte Queirós. On generalisations of the log-Normal distribution by means of a new product definition in the Kapteyn process // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2012-07-01. — Т. 391, вып. 13. — С. 3594–3606. — ISSN 0378-4371. — doi:10.1016/j.physa.2012.01.050.
- ↑ Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Lognormal distributions across the sciences: keys and clues (англ.) // BioScience[англ.] : journal. — 2001. — Vol. 51, no. 5. — P. 341—352. — doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2.
- ↑ J. Peña, C. Fuentes, F. Förster, J. Martínez-Palomera, G. Cabrera-Vives, J. C. Maureira, P. Huijse, P. A. Estévez, L. Galbany, S. González-Gaitán, Th. de Jaeger. Asteroids' Size Distribution and Colors from HITS // The Astronomical Journal. — 2020-04-01. — Т. 159. — С. 148. — ISSN 0004-6256. — doi:10.3847/1538-3881/ab7338. Архивировано 11 марта 2021 года.
Литература
[править | править код]- Crow, Edwin L.; Shimizu, Kunio (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications, Statistics: Textbooks and Monographs, vol. 88, New York: Marcel Dekker, Inc., pp. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0, MR 0939191, Zbl 0644.62014
- Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution, Cambridge University Press.
- Eric W. Weisstein et al. Log Normal Distribution at MathWorld. Electronic document, retrieved October 26, 2006.
- Holgate, P. The lognormal characteristic function (неопр.) // Communications in Statistics - Theory and Methods. — 1989. — Т. 18, № 12. — С. 4539—4548. — doi:10.1080/03610928908830173.
- Brooks, Robert; Corson, Jon; Donal, Wales[англ.]. The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion (англ.) // Advances in Futures and Options Research : journal. — 1994. — Vol. 7.