Функции распределения
Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина
X
{\displaystyle X}
примет значение, меньшее
x
{\displaystyle x}
, где
x
{\displaystyle x}
— произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже ) полностью определяет случайную величину.
Пусть дано вероятностное пространство
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
, и на нём определена случайная величина
X
{\displaystyle X}
с распределением
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
. Тогда функцией распределения случайной величины
X
{\displaystyle X}
называется функция
F
X
:
R
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}
, задаваемая формулой
F
X
(
x
)
=
P
(
X
⩽
x
)
≡
P
X
(
(
−
∞
,
x
]
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\right)}
.
То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины
X
{\displaystyle X}
называют функцию
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
, значение которой в точке
x
{\displaystyle x}
равно вероятности события
{
X
⩽
x
}
{\displaystyle \{X\leqslant x\}}
, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых
X
(
ω
)
⩽
x
{\displaystyle X(\omega )\leqslant x}
.
F
X
{\displaystyle F_{X}}
непрерывна справа [1] :
lim
ε
→
0
+
F
X
(
x
+
ε
)
=
F
X
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0+}F_{X}(x+\varepsilon )=F_{X}(x)}
F
X
{\displaystyle F_{X}}
не убывает на всей числовой прямой.
lim
x
→
−
∞
F
X
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0}
.
lim
x
→
+
∞
F
X
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1}
.
Распределение случайной величины
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
однозначно определяет функцию распределения.
Верно и обратное: если функция
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
является её функцией распределения.
По определению непрерывности справа, функция
F
X
{\displaystyle F_{X}}
имеет правый предел
F
X
(
x
+
)
{\displaystyle F_{X}(x+)}
в любой точке
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
, и он совпадает со значением функции
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
в этой точке.
В силу неубывания, функция
F
X
{\displaystyle F_{X}}
также имеет и левый предел
F
X
(
x
−
)
{\displaystyle F_{X}(x-)}
в любой точке
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция
F
X
{\displaystyle F_{X}}
либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода .
Внимание! Ниже записаны свойства для другого определения функции распределения - для непрерывной слева!
Из свойств вероятности следует, что
∀
x
∈
R
,
∀
a
,
b
∈
R
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R} }
, таких что
a
<
b
{\displaystyle a<b}
:
P
(
X
⩾
x
)
=
1
−
F
X
(
x
)
{\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x)}
;
P
(
X
⩽
x
)
=
F
X
(
x
+
0
)
{\displaystyle \mathbb {P} (X\leqslant x)=F_{X}(x+0)}
;
P
(
X
>
x
)
=
1
−
F
X
(
x
+
0
)
{\displaystyle \mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x+0)}
;
P
(
X
=
x
)
=
F
X
(
x
+
0
)
−
F
X
(
x
)
{\displaystyle \mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x+0)-F_{X}(x)}
;
P
(
a
<
X
⩽
b
)
=
F
X
(
b
+
0
)
−
F
X
(
a
+
0
)
{\displaystyle \mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b+0)-F_{X}(a+0)}
;
P
(
a
⩽
X
⩽
b
)
=
F
X
(
b
+
0
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b+0)-F_{X}(a)}
;
P
(
a
<
X
<
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
+
0
)
{\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b)-F_{X}(a+0)}
;
P
(
a
⩽
X
<
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
;
Если случайная величина
X
{\displaystyle X}
дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности
P
(
X
=
x
i
)
=
p
i
,
i
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots }
,
то функция распределения
F
X
{\displaystyle F_{X}}
этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
F
X
(
x
)
=
∑
i
:
x
i
<
x
p
i
{\displaystyle F_{X}(x)=\sum \limits _{i\colon x_{i}<x}p_{i}}
.
Эта функция непрерывна во всех точках
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
, таких что
x
≠
x
i
,
∀
i
{\displaystyle x\not =x_{i},\;\forall i}
, и имеет разрыв первого рода в точках
x
=
x
i
,
∀
i
{\displaystyle x=x_{i},\;\forall i}
.
Распределение
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
называется непрерывным, если такова его функция распределения
F
X
{\displaystyle F_{X}}
. В этом случае:
P
(
X
=
x
)
=
0
,
∀
x
∈
R
{\displaystyle \mathbb {P} (X=x)=0,\;\forall x\in \mathbb {R} }
,
и
F
X
(
x
−
0
)
=
F
X
(
x
)
,
∀
x
∈
R
{\displaystyle F_{X}(x-0)=F_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} }
,
а следовательно формулы имеют вид:
P
(
X
∈
|
a
,
b
|
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \mathbb {P} (X\in |a,b|)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
,
где
|
a
,
b
|
{\displaystyle |a,b|}
означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.
Абсолютно непрерывные распределения [ править | править код ]
Распределение
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
называется абсолютно непрерывным , если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега ) функция
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
, такая что:
F
X
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
X
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!f_{X}(t)\,dt}
.
Функция
f
X
{\displaystyle f_{X}}
называется плотностью распределения . Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если
f
X
∈
C
(
R
)
{\displaystyle f_{X}\in C(\mathbb {R} )}
, то
F
X
∈
D
(
R
)
{\displaystyle F_{X}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}
, и
d
d
x
F
X
(
x
)
=
f
X
(
x
)
,
∀
x
∈
R
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} }
.
Иногда в иностранной литературе берётся такое определение функции распределения:
F
X
(
x
)
=
P
(
X
⩽
x
)
≡
P
X
(
(
−
∞
,
x
]
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\right)}
.
Определённая так функция распределения будет непрерывна справа, а не слева.
Многомерные функции распределения [ править | править код ]
Пусть
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
фиксированное вероятностное пространство, и
X
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
:
Ω
→
R
n
{\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}
— случайный вектор. Тогда распределение
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
, называемое распределением случайного вектора
X
{\displaystyle X}
или совместным распределением случайных величин
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
, является вероятностной мерой на
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
. Функция этого распределения
F
X
:
R
n
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}
задаётся по определению следующим образом:
F
X
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
P
(
X
1
<
x
1
,
…
,
X
n
<
x
n
)
≡
P
X
(
∏
i
=
1
n
(
−
∞
,
x
i
)
)
{\displaystyle F_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}<x_{1},\ldots ,X_{n}<x_{n})\equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty ,x_{i})\right)}
,
где
∏
{\displaystyle \prod }
в данном случае обозначает декартово произведение множеств .
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для
n
>
1
{\displaystyle n>1}
.
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах