Бесконечно делимое распределение (>yvtkuycuk ;ylnbky jgvhjy;ylyuny)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение

[править | править код]

Случайная величина называется бесконечно делимой, если для любого она может быть представлена в виде

,

где независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

[править | править код]

.

  • Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
  • Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
  • Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

[править | править код]

Теорема Колмогорова

[править | править код]

Для того, чтобы функция распределения c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции имел вид:

,

где — вещественная постоянная, а — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина

[править | править код]

Пусть — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на . Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации , такая что

для некоторого . Тогда случайная величина , имеющая вид

не является бесконечно делимой.

Бесконечно делимое распределение на локально компактных абелевых группах

[править | править код]

Распределение на локально компактной абелевой группе называется бесконечно делимым, если для каждого натурального существует элемент и распределение на такой, что , где - вырожденное распределение, сосредоточенное в (см. [1], [2]).

Примерами бесконечно делимых распределений на локально компактных абелевых группах являются вырожденные распределения, сдвиги распределений Хаара компактных подгрупп, обобщенные распределения Пуассона.

Литература

[править | править код]

Примечания

[править | править код]