Обобщённый собственный вектор (KQkQp~uudw vkQvmfyuudw fytmkj)

Не следует путать с Обобщённая задача нахождения собственных значений.

Обобщённый собственный вектор $n\times n$ матрицы $A$ — вектор, который удовлетворяет определённым критериям, которые слабее, чем критерии для (обычных) собственных векторов.

Пусть $V$ будет $n$-мерным векторным пространством. Пусть $\phi$ будет линейным отображением в $L(V)$, множества всех линейных отображений из $V$ в себя. Пусть $A$ будет матричным представлением отображения $\phi$ для некоторого упорядоченного базиса.

Может не существовать полного набора $n$ линейно независимых собственных векторов матрицы $A$, которые образуют полный базис для $V$. То есть, матрица $A$ не может быть диагонализирована. Это происходит, когда алгебраическая кратность по меньшей мере одного собственного значения $\lambda _{i}$ больше, чем его геометрическая кратность (степень вырожденности матрицы $(A-\lambda _{i}E)$, или размерность его ядра). В этом случае $\lambda _{i}$ называется дефектным собственным значением, а сама матрица $A$ называется дефектной матрицей.

Обобщённый собственный вектор $x_{i}$, соответствующий $\lambda _{i}$, вместе с матрицей $(A-\lambda _{i}E)$ образует цепочку Жордана линейно независимых обобщённых собственных векторов, которые образуют базис для инвариантного подпространства пространства $V$.

Используя обобщённые собственные векторы, множество линейно независимых собственных векторов матрицы $A$ может быть расширено, если необходимо, до полного базиса для $V$. Этот базис можно использовать для определения «почти диагональной матрицы» $J$ в жордановой нормальной форме, подобной матрице $A$, что применяется при вычислении определённых матричных функций от $A$. Матрица $J$ также применяется при решении системы линейных дифференциальных уравнений $\mathbf {x} '=A\mathbf {x}$, где $A$ не обязательно диагонализируема.

Размерность обобщённого собственного пространства, соответствующего заданному собственному значению $\lambda$, равна алгебраической кратности $\lambda$.

Обзор и определение

Имеется несколько эквивалентных путей определения обычного собственного вектора. Для наших целей собственным вектором $\mathbf {u}$, ассоциированным с собственным значением $\lambda$ $n\times n$ матрицы $A$, является ненулевой вектор, для которого $(A-\lambda E)\mathbf {u} =\mathbf {0}$, где $E$ является $n\times n$ единичной матрицей, а $\mathbf {0}$ является нулевым вектором длины $n$. То есть, $\mathbf {u}$ является ядром преобразования $(A-\lambda E)$. Если $A$ имеет $n$ линейно независимых собственных векторов, то $A$ подобна диагональной матрице $D$. То есть, существует невырожденная матрица $M$, такая что $A$ диагонализируема с помощью преобразование подобия $D=M^{-1}AM$. Матрица $D$ называется спектральной матрицей матрицы $A$. Матрица $M$ называется модальной матрицей матрицы $A$. Диагонализируемые матрицы представляют определённый интерес, поскольку матричные функции от неё могут быть легко вычислены.

С другой стороны, если матрица $A$ не имеет $n$ линейно независимых собственных векторов, ассоциированных с ней, то $A$ не диагонализируема.

Определение: Вектор $\mathbf {x} _{m}$ является обобщённым собственным вектором ранга $m$ матрицы $A$, соответствующим собственному значению $\lambda$, если:

$(A-\lambda E)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} ~,$

но

$(A-\lambda E)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} ~.$ .

Обобщённый собственный вектор ранга 1 является обычным собственным вектором. Любая $n\times n$ матрица $A$ имеет $n$ линейно независимых обобщённых собственных векторов, ассоциированных с ней, и можно показать, что она подобна «почти диагональной» матрице $J$ в жордановой нормальной форме. То есть, существует обратимая матрица $M$, такая что $J=M^{-1}AM$. Матрица $M$ в этом случае называется обобщённой модальной матрицей матрицы $A$. Если $\lambda$ является собственным значением с алгебраической кратностью $\mu$, то $A$ будет иметь $\mu$ линейно независимых обобщённых собственных векторов, соответствующих $\lambda$. Эти результаты, в свою очередь, предоставляют метод вычисления определённых матричных функций от $A$.

Примечание: Для того, что бы $n\times n$ матрица $A$ над полем $F$ могла быть выражена в жордановой нормальной форме, все собственные значения матрицы $A$ должны быть в $F$. То есть, характеристический многочлен $f(x)$ должен разлагаться полностью на линейные множители. Альтернативный пример: если матрица $A$ состоит из вещественных элементов, может оказаться, что собственные значения и компоненты собственных векторов будут содержать мнимые значения.

Линейная оболочка всех обобщённых собственных векторов для данного $\lambda$ образует обобщённое собственное пространство для $\lambda$.

Примеры

Несколько примеров для иллюстрации концепции обобщённых собственных векторов. Некоторые детали будут описаны ниже.

Пример 1

Представленный ниже тип матрицы часто используется в учебниках. Возьмём матрицу

$A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}~.$

Тогда имеется только одно собственное значение, $\lambda =1$, и его алгебраическая кратность $m=2$.

Заметим, что эта матрица имеет жорданову нормальную форму, но не диагональна. Следовательно, эта матрица не диагонализируема. Поскольку наддиагональ содержит один элемент, имеется один обобщённый собственный вектор ранга, большего 1 (заметим, что векторное пространство $V$ имеет размерность 2, так что может быть не более одного обобщённого собственного вектора ранга, большего 1). Можно также вычислить размерность ядра матрицы $A-\lambda E$, которая равняется $p=1$, тогда имеется $m-p=1$ обобщённых собственных векторов ранга, большего 1.

Обыкновенный собственный вектор $\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ вычисляется стандартным методом (см. статью Собственный вектор). Используя этот собственный вектор определяется обобщённый собственный вектор $\mathbf {v} _{2}$ путём решения уравнения:

$(A-\lambda E)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}~.$

Выписывая значения:

$\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}~.$

Это выражение упрощается до:

$v_{22}=1~.$

Элемент $v_{21}$ не имеет ограничений. Обобщённый собственный вектор ранга 2 равен тогда $\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}$, где $a$ может иметь любое скалярное значение. Выбор $a=0$ является, как правило, простейшим.

При этом:

$(A-\lambda E)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1}~,$

так что $\mathbf {v} _{2}$ является обобщённым собственным вектором,

$(A-\lambda E)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ~,$

так что $\mathbf {v} _{1}$ является обычным собственным вектором, а $\mathbf {v} _{1}$ и $\mathbf {v} _{2}$ являются линейно независимыми, и, следовательно, образуют базис для векторного пространства $V$.

Пример 2

Следующий пример несколько сложнее примера 1, но также небольшого размера. Матрица

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}$

имеет собственные значения $\lambda _{1}=1$ и $\lambda _{2}=2$ с алгебраическими кратностями $\mu _{1}=2$ и $\mu _{2}=3$, но геометрические кратности будут равны $\gamma _{1}=1$ и$\gamma _{2}=1$.

Обобщённое собственное подпространство матрицы $A$ вычисляется ниже. $\mathbf {x} _{1}$ является обычным собственным вектором, ассоциированным с $\lambda _{1}$. $\mathbf {x} _{2}$ является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с $\lambda _{1}$. $\mathbf {y} _{1}$ является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с $\lambda _{2}$. $\mathbf {y} _{2}$ и $\mathbf {y} _{3}$ являются обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с $\lambda _{2}$.

$(A-1E)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ~,$

$(A-1E)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1}~,$

$(A-2E)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ~,$

$(A-2E)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1}~,$

$(A-2E)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}~.$

Получаем базис для каждого из обобщённых собственных пространств матрицы $A$. Вместе линейные комбинации двух цепочек обобщённых собственных векторов заполняют пространство всех 5-мерных векторов-столбцов:

$\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\}~,\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}~.$

«Почти диагональная» матрица $J$ в жордановой нормальной форме, подобная $A$, получается следующим образом:

$M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}}~,$

$J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}}~,$

где $M$ является обобщённой модальной матрицей матрицы $A$, столбцы матрицы $M$ являются каноническим базисом матрицы $A$, и $AM=MJ$.

Цепочки Жордана

Определение: Пусть $\mathbf {x} _{m}$ будет обобщённым собственным вектором ранга $m$, соответствующим матрице $A$ и собственному значению $\lambda$. Цепочка, образованная вектором $\mathbf {x} _{m}$ — это набор векторов $\left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}$, определённых выражением:

$\mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{m}~,$
$\mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda E)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{m-1}~,$
$\mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda E)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{m-2}~,$

$\vdots$

$\mathbf {x} _{1}=(A-\lambda E)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{2}~.$

(1)

Тогда:

$\mathbf {x} _{j}=(A-\lambda E)^{m-j}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{j+1}\qquad (j=1,2,\dots ,m-1)~.$ (2)

Вектор $\mathbf {x} _{j}$, заданный формулой (2), является обобщённым собственным вектором ранга $j$, соответствующим собственному значению $\lambda$. Цепочка является набором линейно независимых векторов.

Канонический базис

Основная статья: Канонический базис § Линейная алгебра

Определение: Набор $n$ линейно независимых обобщённых собственных векторов является каноническим базисом, если набор полностью состоит из цепочек Жордана.

Таким образом, если обобщённый собственный вектор ранга $m$ находится в каноническом базисе, то $m-1$ векторов $\mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}$, находящихся в цепочке Жордана, образованной $\mathbf {x} _{m}$, также находятся в каноническом базисе.

Пусть $\lambda _{i}$ будет собственным значением матрицы $A$ с алгебраической кратностью $\mu _{i}$. Найдём (матричные) ранги матриц $(A-\lambda _{i}E),(A-\lambda _{i}E)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}E)^{m_{i}}$. Целое число $m_{i}$ определяется как первое число, для которого $(A-\lambda _{i}R)^{m_{i}}$ имеет ранг $n-\mu _{i}$ (здесь $n$ равно числу строк или столбцов матрицы $A$, то есть, матрица $A$ имеет размер $n\times n$).

Далее определим:

$\rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}E)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}E)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i})~.$

Переменная $\rho _{k}$ обозначает число линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга $k$, соответствующих собственному значению $\lambda _{i}$, которые появятся в каноническом базисе матрицы $A$. При этом:

$\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}E)^{0}=\operatorname {rank} (E)=n$.

Вычисление обобщённых собственных векторов

В предыдущих разделах представлены техники получения $n$ линейно независимых обобщённых собственных векторов канонического базиса для векторного пространства $V$, ассоциированного с $n\times n$ матрицей $A$. Эти техники могут быть собраны в процедуре:

Решаем характеристический многочлен матрицы $A$, чтобы получить собственные значения $\lambda _{i}$ и их алгебраические кратности $\mu _{i}$;

Для каждого $\lambda _{i}$:

Определяем $n-\mu _{i}$;

Определяем $m_{i}$;

Определяем $\rho _{k}$ для $(k=1,\ldots ,m_{i})$;

Определяем каждую жорданову цепь для $\lambda _{i}$.

Пример 3

Матрица

$A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}$

имеет собственное значение $\lambda _{1}=5$ с алгебраической кратностью $\mu _{1}=3$ и собственное значение $\lambda _{2}=4$ с алгебраической кратностью $\mu _{2}=1$, при этом $n=4$. Для каждого $\lambda _{1}$ выполняется: $n-\mu _{1}=4-3=1$.

$(A-5E)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatorname {rank} (A-5E)=3~.$

$(A-5E)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatorname {rank} (A-5E)^{2}=2~.$

$(A-5E)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatorname {rank} (A-5E)^{3}=1~.$

Первое целое $m_{1}$, для которого $(A-5E)^{m_{1}}$ имеет ранг $n-\mu _{1}=1$, равно $m_{1}=3$.

Далее определяем:

$\rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5E)^{2}-\operatorname {rank} (A-5E)^{3}=2-1=1~,$

$\rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5E)^{1}-\operatorname {rank} (A-5E)^{2}=3-2=1~,$

$\rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5E)^{0}-\operatorname {rank} (A-5E)^{1}=4-3=1~.$

Следовательно, будет три линейно независимых обобщённых собственных вектора, по одному из рангов 3, 2 и 1. Поскольку $\lambda _{1}$ соответствует одной цепи из трёх линейно независимых обобщённых собственных векторов, существует обобщённый собственный вектор $\mathbf {x} _{3}$ ранга 3, соответствующий $\lambda _{1}$, такой что:

$(A-5E)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} ~,$ (3)

но:

$(A-5E)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} ~.$ (4)

Выражения (3) и (4) представляют линейную систему, которую можно решить относительно $\mathbf {x} _{3}$. Пусть

$\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}~.$

Тогда:

$(A-5E)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

и

$(A-5E)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}~.$

Тогда, чтобы удовлетворить условиям (3) и (4), необходимо иметь $x_{34}=0$ и $x_{33}\neq 0$. Никакие ограничения не накладываются на $x_{31}$ и $x_{32}$. Выбрав $x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$, получим:

$\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}~,$

как обобщённый собственный вектор ранга 3, соответствующий $\lambda _{1}=5$. Можно получить бесконечно много других обобщённых собственных векторов ранга 3, выбрав другие значения $x_{31}$, $x_{32}$ и $x_{33}$ при $x_{33}\neq 0$. Сделанный выбор, однако, самый простой.

Теперь, используя равенства (1), получим $\mathbf {x} _{2}$ и $\mathbf {x} _{1}$ как обобщённые собственные векторе ранга 2 и 1 соответственно, где:

$\mathbf {x} _{2}=(A-5E)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}$

и

$\mathbf {x} _{1}=(A-5E)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}~.$

Некратное собственное значение $\lambda _{2}=4$ может быть вычислено с помощью стандартных техник и оно соответствует обычному собственному вектору:

$\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}~.$

Каноническим базисом матрицы $A$ будет:

$\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}~.$

$\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}$ и $\mathbf {x} _{3}$ будут обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с $\lambda _{1}$, в то время как $\mathbf {y} _{1}$ является обычным собственным вектором, ассоциированным с $\lambda _{2}$.

Это довольно простой пример. В общем случае количества $\rho _{k}$ линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга $k$ не всегда будут одинаковыми. То есть, могут быть цепочки с разными длинами соответствующих собственных значений.

Обобщённая модальная матрица

Основная статья: Обобщённая модальная матрица

Пусть $A$ является $n\times n$ матрицей. Обобщённая модальная матрица $M$ для $A$ — это $n\times n$ матрица, столбцы которой, рассматриваемые как вектора, образуют канонический базис матрицы $A$ и появляются в $M$ по следующим правилам:

• Все цепочки Жордана, состоящие из одного вектора (то есть, длиной в один вектор) появляются в первом столбце матрицы $M$.
• Все вектора одной цепочки появляются вместе в смежных столбцах матрицы $M$.
• Каждая цепочка появляется в $M$ в порядке увеличения ранга (то есть, обобщённый собственный вектор ранга 1 появляется до обобщённого собственного вектора ранга 2 той же цепочки, этот вектор появляется до обобщённого собственного вектора ранга 3 той же цепочки, и т. д.).

Жорданова нормальная форма

Пример матрицы в жордановой нормальной форме. Серые блоки называются блоками Жордана.

Основная статья: Жорданова нормальная форма

Пусть $V$ является $n$-мерным векторным пространством. Пусть $\phi$ будет линейным отображением из $L(V$), множества всех линейных отображений из $V$ в себя. Пусть $A$ будет матричным представлением $\phi$ для некоторого упорядоченного базиса. Можно показать, что если характеристический многочлен $f(\lambda )$ матрицы $A$ разлагается на линейные множители, так что $f(\lambda )$ имеет вид:

$f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}}~,$

где $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ являются различными собственными значениями $A$, то каждое $\mu _{i}$ является алгебраической кратностью соответствующего собственного значения $\lambda _{i}$, а $A$ подобна матрице $J$ в жордановой нормальной форме, где каждая $\lambda _{i}$ появляется $\mu _{i}$ раз последовательно на диагонали. При этом элемент непосредственно над каждой $\lambda _{i}$ (то есть, на наддиагонали) равен либо 0, либо 1 — элементы, выше первого вхождения каждой $\lambda _{i}$ всегда равны 0; все другие элементы на наддиагонали равны 1. При этом все другие элементы вне диагонали и наддиагонали равны 0. Матрица $J$ наиболее близка к диагонализации матрицы $A$. Если матрица $A$ диагонализируема, все элементы выше диагонали равны нулю . Заметим, что в некоторых книгах единицы располагаются на поддиагонали, то есть, непосредственно под главной диагонали, а не на наддиагонали. Собственные значения при этом остаются на главной диагонали.

Любая $n\times n$ матрица $A$ подобна матрице $J$ в жордановой нормальной форме, которая получается посредством преобразований подобия $J=M^{-1}AM$, где $M$ является обобщённой модальной матрицей матрицы $A$ (См. Примечание выше).

Пример 4

Найдём матрицу в жордановой нормальной форме, которая подобна:

$A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}~.$

Решение: Характеристическое уравнение матрицы $A$ — $(\lambda -2)^{3}=0$, следовательно, $\lambda =2$ является собственным значением с алгебраической кратностью три. Следуя процедуре из предыдущего раздела, находим что:

$\operatorname {rank} (A-2E)=1$

и

$\operatorname {rank} (A-2E)^{2}=0=n-\mu ~.$

Тогда $\rho _{2}=1$ и $\rho _{1}=2$, откуда следует, что канонический базис матрицы $A$ будет содержать один линейно независимый обобщённый собственный вектор ранга 2 и два линейно независимых обобщённых собственных вектора ранга 1, или, что эквивалентно: одну цепочку из двух векторов $\left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}$ и одну цепочку векторов $\left\{\mathbf {y} _{1}\right\}$. Обозначив $M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}$, получим:

$M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}}$

и

$J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}~,$

где $M$ является обобщённой модальной матрицей матрицы $A$, столбцы матрицы $M$ являются каноническим базисом матрицы $A$, и $AM=MJ$. Поскольку обобщённые собственные векторы сами по себе не единственны, и поскольку некоторые из столбцов матриц $M$ и $J$ могут быть обменены, то отсюда следует, что как матрица $M$, так и $J$ не уникальны.

Пример 5

В Примере 3 был найден канонический базис линейно независимых обобщённых собственных векторов матрицы $A$. Обобщённая модальная матрица матрицы $A$ равна:

$M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}~.$

Матрица в жордановой нормальной форме, подобная матрице $A$, равна:

$J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}}~,$

так что $AM=MJ$.

Приложения

Матричные функции

Основная статья: Матричная функция

Три главные операции, которые можно проводить с квадратными матрицами — это сложение матриц, умножение на скаляр и матричное умножение. Это в точности те операции, которые нужны для определения полиномиальной функции от $n\times n$ матрицы $A$. Многие функции могут быть представлены в виде ряда Маклорена, Следовательно, можно определить более общие функции от матриц. Если матрица $A$ диагонализируема, то есть:

$D=M^{-1}AM~,$

с

$D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}~,$

тогда:

$D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}~,$

и суммирование ряда Маклорена функции $A$ сильно упрощается . Например, для получения любой степени k матрицы $A$, нужно лишь вычислить $D^{k}$, умножив затем слева матрицу $D^{k}$ на $M$, а затем справа на $M^{-1}$.

С помощью обобщённых собственных векторов можно получить жорданову нормальную форму матрицы $A$ и эти результаты можно обобщить для получения прямого метода вычисления функций от недиагонализируемых матриц (См. Разложение Жордана.)

Дифференциальные уравнения

Основная статья: Обыкновенное дифференциальное уравнение

Рассмотрим задачу решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

$\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ~,$ (5)

где:

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}}~,\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}}~,$      и      $A=(a_{ij})~.$

Если матрица $A$ диагонализируема, так что $a_{ij}=0$ для $i\neq j$, система (5) сводится к системе из $n$ уравнений, которые принимают вид:

$x_{1}'=a_{11}x_{1}$
$x_{2}'=a_{22}x_{2}$

$\vdots$

$x_{n}'=a_{nn}x_{n}~.$

(6)

В этом случае общее решение задаётся выражениями:

$x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}$

$x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}$

$\vdots$

$x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}~.$

В общем случае следует диагонализировать матрицу $A$ и свести систему (5) к системе вида (6) как указано ниже. Если матрица $A$ диагонализируема, имеем $D=M^{-1}AM$, где $M$ является модальной матрицей матрицы $A$. После подстановки $A=MDM^{-1}$ равенство (5) принимает вид $M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )$, или:

$\mathbf {y} '=D\mathbf {y} ~,$ (7)

где:

$\mathbf {x} =M\mathbf {y} ~.$ (8)

Решением уравнения (7) будет:

$y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}$

$y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}$

$\vdots$

$y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}~.$

Решение $\mathbf {x}$ системы (5) получается тогда с помощью отношения (8).

С другой стороны, если матрица $A$ не диагонализируема, выберем в качестве матрицы $M$ обобщённую модальную матрицу для матрицы $A$, так что $J=M^{-1}AM$ является жордановой нормальной формой матрицы $A$. Система $\mathbf {y} '=J\mathbf {y}$ имеет вид:

${\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n}~,\end{aligned}}$

(9)

где значениями $\lambda _{i}$ являются собственные значения с главной диагонали матрицы $J$, а значениями $\epsilon _{i}$ будут единицы и нули с наддиагонали матрицы $J$. Систему (9) часто решить проще, чем (5), например, по следующей схеме:

Решая последнее равенство в (9) относительно $y_{n}$ получаем $y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}$. Подставляя полученное значение $y_{n}$ в предпоследнее равенство в (9), решаем его относительно $y_{n-1}$. Продолжая этот процесс, пройдём по всем равенствам (9) от последнего до первого, решая тем самым всю систему уравнений. Решение $\mathbf {x}$ тогда получается из отношений (8).