Векторное исчисление (Fytmkjuky nvcnvlyuny)
Ве́кторное исчисле́ние (англ. Vector calculus) — раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами[1][2][3][4][5].
Векторное исчисление, как и любое другое исчисление, использует определённые операции над векторами, такие, как сложение, умножение, дифференцирование. Операции определены так, чтобы их легко можно было интерпретировать в математике, механике и физике[6].
Например, в физике постоянно встречается правило параллелограмма: параллелограмм сил, скоростей и так далее. Именно этому правилу и отвечает операция сложения векторов[6].
Поэтому, с одной стороны, использование векторного исчисления при изучении соответствующих явлений упрощает исследование, а с другой стороны, исследование получается более наглядным и естественным без дополнительного введения посторонних элементов, таких как координаты[6].
Подразделения векторного исчисления
[править | править код]В связи с разнообразием особенностей векторов, зависящих от пространства, в котором они исследуются, векторное исчисление подразделяется на[1][2][3][7][5]:
Векторная алгебра изучает[1][2][3][8][5]:
- линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число);
- различные произведения векторов (скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное).
Векторный анализ изучают векторы как функции от одного или нескольких скалярных аргументов[1][2][3][9][5].
Расширением векторного исчисления является тензорное исчисление, изучающее тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление в свою очередь разделяется на[10]:
- тензорную алгебру (входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру);
- тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей.
Тензорное исчисление является составной частью дифференциальной геометрии, используемой, в том числе, в современной теоретической физике[10].
Дальнейшее развитие математики в этом направлении привело к появлению следующих разделов, тесно взаимодействующих с современной физикой[11]:
Возникновение и развитие
[править | править код]Векторное исчисление появилось в результате востребованности механикой и физикой[12][2][13][1][5]. До XIX века вектор задавали только с помощью координат, операции над векторами были вычислениями координат. Только в середине XIX века было создано векторное исчисление, которое позволило оперировать непосредственно векторами, без привлечения каких-либо координат[2][1][14].
Основы векторного исчисления заложены в середине XIX века двумя учёными[12][14]:
- одним из лучших математиков того времени, механиком-теоретиком и физиком-теоретиком ирландцем сэром Гамильтоном;
- немецким геометром, физиком и филологом Грассманом в трудах по гиперкомплексным числам.
Эти два математика независимо друг от друга различными способами открыли векторные операции. Но в то время еще не было физических теорий, существенно использующих векторное исчисление[12].
Катализатором интенсивного развития и распространения векторного исчисления явилось создание шотландским физиком Максвеллом теории электромагнитного поля в «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873), где решающее значение имели понятия векторного исчисления. Все современные учебные курсы теоретической механики, газо-, гидро- и электродинамики, аналитической и дифференциальной геометрии и так далее основаны на векторном исчислении[12][13].
Современный вид векторного исчисления возник в трудах американского физика, физикохимика, математика и механика Гиббса[2][14].
Русские учёные существенно развили векторное исчисление. Признанный лидер математиков Российской империи в 1830—1860-е годы Остроградский доказал основную теорему векторного исчисления. Русский и советский математик и механик Котельников, развивая своё винтовое исчисление, внес важный вклад в механику и геометрию. Советские математики и механики Зейлигер и Широков продолжили эти исследования. Русский математик и механик Сомов написал книгу «Векторный анализ» (1907), оказавшую сильное влияние на развитие векторного исчисления[14].
Такое широкое использование векторного исчисления можно объяснить его свойствами[11]:
- векторная терминология правильно отражает многие понятия и закономерности как геометрии, так и физики;
- векторное исчисление обеспечивает единство аналитического и геометрического подходов, в итоге векторные формулы и вычисления сжаты, наглядны и ясны;
- векторные формулы, отражающие физические закономерности, не зависят от выбора координат, другими словами, инвариантны, а также отражают суть явлений в "чистом виде".
Потребности физики привела к созданию в начале XX века усилиями многих учёных тензорное исчисление, обобщающее теорию векторов. В дальнейшем результате объединения понятий алгебры, анализа и геометрии появились новые отрасли математики: функциональный анализ, теория представление непрерывных групп, исчисление геометрических объектов и так далее. Эти новые направления математики, организующие принципы векторного исчисления, переплелись с понятиями современной физики[11].
Разделы векторного исчисления
[править | править код]Векторная алгебра
[править | править код]В данном разделе векторного исчисления изучаются свойства линейных операций с векторами: сложение, умножение векторов на число, различные произведения векторов — скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное, двойное векторное и т. д.[15]. В приложении к аналитической геометрии исследуются геометрические свойства векторов и их совокупности. В частности, коллинеарность, компланарность векторов, свойства векторного базиса. В аналитической и теоретической механике на базе законов векторной алгебры исследуются движение и взаимодействие материальных тел[16]
Расширением векторной алгебры является тензорная алгебра, в которой исследуются алгебраические операции над тензорами[17].
Раздел векторного исчисления, в котором исследуются статические, стационарные и динамические векторные и скалярные поля. Векторный анализ оперирует с понятиями поток вектора, циркуляция вектора,[18]. Оперируя данными понятиями, исследуются взаимоотношения определяющих поля скаляров и векторов и доказываются базовые теоремы векторного анализа:
- Градиент
- Теорема о дивергенции вектора;
- Теорема о циркуляции вектора;
- Уравнение Лапласа;
- Уравнение Пуассона;
- Теорема разложения Гельмгольца;
- Теорема Умова[19].
Расширением векторного анализа является тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре . Рассматриваются и более общие операторы: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении[20].
Методы, основанные на векторном представлении функций, нашли широкое применение в теории линейных интегральных уравнений[21], в теории обработки сигналов[22], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений[23], алгебраической геометрии[24] и т. д.
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 4 5 6 Иванов А. Б. Векторное исчисление, 1977.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Векторное исчисление, 1988.
- ↑ 1 2 3 4 Векторное исчисление, 1984.
- ↑ Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 366, 368.
- ↑ 1 2 3 4 5 Vector calculus, 2011.
- ↑ 1 2 3 Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 1. Определение скаляра.…, с. 8.
- ↑ Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 366, 368.
- ↑ Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 366—367.
- ↑ Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 367—369.
- ↑ 1 2 Онищик А. Л. Тензорное исчисление, 1985.
- ↑ 1 2 3 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Введение, с. 10.
- ↑ 1 2 3 4 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Введение, с. 9.
- ↑ 1 2 Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 366.
- ↑ 1 2 3 4 Позняк Э. Г. Векторное исчисление, 1971, с. 366.
- ↑ Пытьев Ю. П. Векторная алгебра. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 632—636
- ↑ Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. М., Наука, 1970
- ↑ Онищук А. Л. Тензорная алгебра. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 329
- ↑ Иванов А. Б. Векторный анализ. Математическая энциклопедия под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 1, с. 648
- ↑ движения энергии в телах (Умов)/I
- ↑ Онищук А. Л. Тензорный анализ. Математическая энциклопедия. Под ред. Виноградова И. М., М., Советская энциклопедия, т. 5, с. 333
- ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1968, с. 399
- ↑ Самойло К. А. Радиотехнические цепи и сигналы. М., Радио и связь, 1982, с. 39
- ↑ Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1970, с. 103
- ↑ Чеботарёв Н. Г. Теория алгебраических функций. М., ОГИЗ, 1948, с. 385
Источники
[править | править код]- Векторное исчисление // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 30.
- Векторное исчисление // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 109.
- Иванов А. Б. Векторное исчисление // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 640.
- Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
- Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
- Онищик А. Л. Тензорное исчисление // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 330.
- Позняк Э. Г. Векторное исчисление // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1971. Т. 4. Брасос — Веш. 1971. 600 с. с илл., 39 л. илл., 8 л. карт. С. 366—369.
- Vector calculus // Encyclopedia of Mathematics Архивная копия на Wayback Machine
 |
|---|
Векторы и матрицы | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Векторы |
| ||||||||
| Матрицы |
| ||||||||
| Другое | |||||||||