Двойное векторное произведение (:fkwuky fytmkjuky hjkn[fy;yuny)
Двойно́е ве́кторное произведе́ние (другие названия: тройное векторное произведение; векторно-векторное произведение) векторов — векторное произведение вектора на векторное произведение векторов и
В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным[1][2] (по числу векторов, обычно в англоязычных и переводных источниках), так и двойным[3][4][5][6], или векторно-векторным[5] (по числу операций умножения, обычно в оригинальных русскоязычных источниках).
Свойства
[править | править код]Формула Лагранжа
[править | править код]Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа:
которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».
Другой вариант доказательства использует разложение векторного произведения по компонентам с помощью тензора Леви-Чивиты :
(здесь и ниже по повторяющимся индексам производится суммирование, т.е. см. соглашение Эйнштейна о суммировании).
Использовано соотношение где — символ Кронекера. Далее,
Здесь использовано свойство дельты Кронекера, позволяющее заменять индекс, по которому идет суммирование с дельтой: Таким образом,
и, переходя от компонентов ко всему вектору, получаем искомое соотношение.
Тождество Якоби
[править | править код]Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби:
которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа:
Примечания
[править | править код]- ↑ Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика, 1965, 2.14. Тройное векторное произведение, с. 40.
- ↑ Weisstein Eric W. Vector Triple Product, 2024.
- ↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, § 5. Тройное произведение и векторное произведение векторов пространства, с. 360.
- ↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 122. Двойное векторное произведение, с. 182.
- ↑ 1 2 Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава III. Произведения двух векторов. § 1. Простейшее произведение трёх векторов, с. 59.
- ↑ Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 7. Произведения трёх векторов.…, с. 59.
Источники
[править | править код]- Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 291—381.
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
- Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
- Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
- Милн-Томсон Л. М.[англ.] Теоретическая гидродинамика / Перевод с английского А. А. Петрова, Я. И. Секерж-Зеньковича и П. И. Чушкина под редакцией Н. Н. Моисеева. М.: «Мир», 1964. 660 с., ил. [Milne-Thomson, L. M. Theoretical hydrodynamics. Fourth edition. London: Macmillan and Co. LTD · New York: St. Martin's Press, 1960.]
- Weisstein Eric W. Vector Triple Product // Wolfram MathWorld Архивная копия от 2 июня 2024 на Wayback Machine