Вектор-функция (Fytmkj-srutenx)
Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:
- одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в некоторую кривую;
- m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в , вообще говоря, m-мерную поверхность;
- векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на .
Вектор-функция одной скалярной переменной
[править | править код]Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной отображает некоторый интервал вещественных чисел в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).
Выбрав координатные орты , мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):
Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.
Говорят, что вектор-функция имеет предел в точке , если (здесь и далее обозначают модуль вектора ). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:
- Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
- Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
- Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.
Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.
Производная вектор-функции по параметру
[править | править код]Определим производную вектор-функции по параметру:
- .
Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .
Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):
- — производная суммы есть сумма производных
- — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
- — дифференцирование скалярного произведения.
- — дифференцирование векторного произведения.
- — дифференцирование смешанного произведения.
О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.
Вектор-функция нескольких скалярных переменных
[править | править код]Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.
В координатах уравнение имеет вид:
Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: . Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём не обращается тождественно в ноль.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Sphere-wireframe.png/220px-Sphere-wireframe.png)
Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:
- ,
где t — параметр кривой. Зависимости предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:
- — первая координатная линия.
- — вторая координатная линия.
Если на поверхности нет особых точек ( нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.
Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.
Литература
[править | править код]- Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
- Краснов М. Л., Кисилев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)
- Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Архивная копия от 14 ноября 2007 на Wayback Machine 9-е изд. М.: Наука, 1965.