Нормаль (Ukjbgl,)
Норма́ль в геометрии — обобщение понятия перпендикуляра к прямой или плоскости на произвольные гладкие кривые и поверхности.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Frenet.png/270px-Frenet.png)
Нормаль к кривой в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной прямой в указанной точке кривой. Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную нормаль, расположенную в той же плоскости. Пространственная кривая в каждой своей точке имеет бесконечное множество нормалей, формирующих так называемую нормальную плоскость. Две из этих нормалей выделяются особо: нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью[1].
Нормаль к поверхности в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в указанной точке поверхности. Нормаль для гладкой поверхности определяется однозначно[1].
Понятие нормали может быть легко распространено на многомерные многообразия. Кроме геометрии, нормали широко используются в геометрической оптике, механике, при создании трёхмерной компьютерной графики, в теории потенциала и в других естественных науках[2].
Вектор нормали
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/Normal_vectors_on_a_curved_surface.svg/220px-Normal_vectors_on_a_curved_surface.svg.png)
Вектор нормали (или орт нормали) к поверхности в данной точке — единичный вектор, приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Аналогично определяются векторы нормали к пространственной кривой в данной точке; среди них, соответственно сказанному выше, выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали и вектор бинормали.
Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным полем векторов нормали. В противном случае поверхность называют односторонней или неориентируемой. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.
Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лист Мёбиуса.
Нормаль к пространственной кривой
[править | править код]Пусть — векторное уравнение кривой. Тогда направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: В случае естественной параметризации кривой (её длиной дуги) орт главной нормали[3] равен .
Векторное уравнение бинормали в точке имеет вид:
Уравнение нормальной плоскости[3] в точке :
Нормаль к плоской кривой
[править | править код]Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке имеет следующий вид.
Способ задания плоской кривой |
Уравнение кривой | Уравнение нормали |
---|---|---|
Параметрическое задание | ||
Явное задание | ||
Неявное задание |
Нормаль к поверхности
[править | править код]В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности (см. статью Поверхность). Примером точки поверхности, где нормаль не определена, является вершина конуса — в ней не существует касательной плоскости.
Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:
Координаты нормали в точке поверхности | |
---|---|
параметрическое задание: | |
неявное задание: | |
явное задание: |
Здесь . Все производные берутся в точке . Из формул видно, что в случае неявного задания направление нормали к функции совпадает с направлением её градиента.
Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).
Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол . Тогда кривизна кривой связана с кривизной нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье[4]:
Кривизна нормального сечения в заданной точке зависит от направления этого сечения; если кривизна не постоянна, то максимум и минимум достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называемых главными направлениями. На сфере, на торцах эллипсоида и т. п. кривизна постоянна, и все направления — главные[5].
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1982, с. 1049—1050.
- ↑ Нормаль // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 416. — 847 с.
- ↑ 1 2 Рашевский, 1956, с. 146.
- ↑ Погорелов, 1974, с. 125—126.
- ↑ Погорелов, 1974, с. 132—133.
Литература
[править | править код]- Нормаль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е изд. — М.: Наука, 1974. — 176 с.
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 4-е изд. — М.: ГИТТЛ, 1956.
Ссылки
[править | править код]- Нормаль : [арх. 4 января 2023] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.