Алгебра (GliyQjg)

А́лгебра (от араб. اَلْجَبْرُ‎^[1] аль-джабр — «восстановление (разрозненных) частей^[2], восстановление равенства, уравнение^[3], восполнение^[4]») — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел^[5].

Классификация

Алгебра как раздел математики традиционно включает следующие категории.

Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгебра содержит правила преобразования алгебраических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра^[6].
Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где аксиоматизируются и изучаются максимально общие алгебраические структуры, такие, как группы, кольца и поля.
Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры).
Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).
Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

Элементарная алгебра

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные ( $a,b,c,x,y$ и так далее). Такой подход полезен, потому что:

Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, $a+b=b+a$ для любых $a$ и $b$ ), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.
Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что $3x+1=10$ » или, в более общем случае, «Найти число x, такое, что $ax+b=c$ ». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.)
Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали $x$ билетов, то ваша прибыль составит $3x-10$ рублей, или $f(x)=3x-10$ , где $f$ — функция, и $x$ — число, от которого зависит функция»)

Линейная алгебра

Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично)^[7]. Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств^[8].

Линейное, или векторное пространство $V\left(F\right)$ над полем $F$ — это упорядоченная четвёрка $(V,F,+,\cdot )$ , где

V

— непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;

F

— (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;

+\colon V\times V\to V

— операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов

\mathbf {x} ,\mathbf {y}

множества

V

единственный элемент множества

V

, обозначаемый

\mathbf {x} +\mathbf {y}

;

\cdot \colon F\times V\to V

— операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу

\lambda

поля

\in F

и каждому элементу

\mathbf {x}

множества

V

единственный элемент множества

V

, обозначаемый

\lambda \mathbf {x}

;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ , для любых $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ (коммутативность сложения);
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ , для любых $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$ (ассоциативность сложения);
существует такой элемент $\theta \in V$ , что $\mathbf {x} +\theta =\mathbf {x}$ для любого $\mathbf {x} \in V$ (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности $V$ не пусто;
для любого $\mathbf {x} \in V$ существует такой элемент $-\mathbf {x} \in V$ , что $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\theta$ (существование противоположного элемента относительно сложения).
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ (ассоциативность умножения на скаляр);
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности, с теорией линейных представлений групп^[8].

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа^[7]. Другим естественным обобщением является использование не поля, а произвольного кольца. Для модуля над произвольным кольцом не выполняются основные теоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полем и модулей над кольцом изучаются в алгебраической К-теории^[8].

Общая алгебра

Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов^[5]. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем, привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре^[9].

Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли^[9].

Теория групп

Непустое множество $G$ с заданной на нём бинарной операцией $*\,\colon G\times G\to G$ называется группой $(G,*)$ , если выполнены следующие аксиомы:

ассоциативность: $\forall (a,b,c\in G):(a*b)*c=a*(b*c)$ ;
наличие нейтрального элемента: $\exists e\in G\quad \forall a\in G:(e*a=a*e=a)$ ;
наличие обратного элемента: $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G:(a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Почти все структуры общей алгебры — частные случаи групп.

Теория колец

Кольцо — множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

$\forall a,b\in R\left(a+b=b+a\right)$ — коммутативность сложения;
$\forall a,b,c\in R\left(a+(b+c))=((a+b)+c\right)$ — ассоциативность сложения;
$\exists 0\in R\;\forall a\in R\left(a+0=0+a=a\right)$ — существование нейтрального элемента относительно сложения;
$\forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)$ — существование противоположного элемента относительно сложения;
$\forall a,b,c\in R\;(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы^[10])
$\forall a,b,c\in R\left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=a\times b+a\times c\\(b+c)\times a=b\times a+c\times a\end{matrix}}\right.$ — дистрибутивность.

Универсальная алгебра

Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры, который занимается изучением характерных для всех алгебраических систем свойств. Алгебраическая система представляет собой произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ , $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle$ , $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$ . Множество $A$ в этом случае называется носителем (или основным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями $\langle F,R,\langle n_{1},\dots n_{i},\dots \rangle ,\langle m_{1}\dots m_{i},\dots \rangle \rangle$ — её сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй), а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений, реляционной системой.

В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — это универсальная алгебра $\left(R,+,\times \right)$ , такая, что алгебра $\left(R,+\right)$ — абелева группа, и операция $+$ дистрибутивна слева и справа относительно $\times$ . Кольцо называется ассоциативным, если мультипликативный группоид является полугруппой.

Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так и сопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмов $\mathbf {End} {\mathfrak {A}}$ , группа всех автоморфизмов $\mathbf {Aut} {\mathfrak {A}}$ , решётки всех подалгебр $\mathbf {Sub} {\mathfrak {A}}$ и всех конгруэнций $\mathbf {Con} {\mathfrak {A}}$ ^[11].

Универсальная алгебра находится на стыке логики и алгебры^[9].

Исторический очерк

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах^[6]. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения^[12]. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне^[13].

Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени^[14]. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными^[13]. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами^[14].

После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравнений^[15]. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников^[16]. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение $x^{3}+ax+b=0$ . Отдельные задачи решались с помощью конических сечений^[17].

Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов^[18]. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии^[19].

За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения (см. Математика в девяти книгах). Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В XIII веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя^[20].

Термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского учёного Аль-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы» (825 год). Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, и его буквальный смысл — «восполнение»^[4]. «Аль-мукабала» означало отбрасывание в обеих частях равенства равных членов (противоположение). «Аль-джабр» при переводе на латинский язык превратилось в «algebra», а аль-мукабала была отброшена: так появилось название «алгебра».

В XII веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространение получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчёты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

Примечания

↑ алгебра // Этимологический словарь русского языка = Russisches etymologisches Wörterbuch : в 4 т. / авт.-сост. М. Фасмер ; пер. с нем. и доп. чл.‑кор. АН СССР О. Н. Трубачёва, под ред. и с предисл. проф. Б. А. Ларина [т. I]. — Изд. 2-е, стер. — М. : Прогресс, 1986—1987.
↑ Этимологический словарь русского языка Шанского Н. М.
↑ Этимологический словарь русского языка Успенского Л. В.
↑ ¹ ² Александрова Н. В. Математические термины : справочник. — М.: Высшая школа, 1978. — С. 6.
↑ ¹ ² Алгебра // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ ¹ ² Виноградов И. М. Алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
↑ ¹ ² Линейная алгебра // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ ¹ ² ³ Виноградов И. М. Линейная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
↑ ¹ ² ³ Виноградов И. М. Общая алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
↑ Алгебра — статья из Математической энциклопедии
↑ Виноградов И. М. Универсальная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
↑ История математики, т. I, 1970, с. 29—30.
↑ ¹ ² История математики, т. I, 1970, с. 42.
↑ ¹ ² История математики, т. I, 1970, с. 42—46.
↑ История математики, т. I, 1970, с. 78—80.
↑ История математики, т. I, 1970, с. 82—86.
↑ История математики, т. I, 1970, с. 86—87.
↑ История математики, т. I, 1970, с. 144—146.
↑ История математики, т. I, 1970, с. 146—150.
↑ М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»

Литература

История математики: в 3 т / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. I: С древнейших времён до начала Нового времени.
Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 174—204. — 208 с. — (История науки и техники).

Ссылки

В Викисловаре есть статья «алгебра»

Алгебра в каталоге ссылок Curlie (dmoz)
Информация на начало XX века: Алгебра // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[1] алгебра // Этимологический словарь русского языка = Russisches etymologisches Wörterbuch : в 4 т. / авт.-сост. М. Фасмер ; пер. с нем. и доп. чл.‑кор. АН СССР О. Н. Трубачёва, под ред. и с предисл. проф. Б. А. Ларина [т. I]. — Изд. 2-е, стер. — М. : Прогресс, 1986—1987.

[2] Этимологический словарь русского языка Шанского Н. М.

[3] Этимологический словарь русского языка Успенского Л. В.

[A6-4] ¹ ² Александрова Н. В. Математические термины : справочник. — М.: Высшая школа, 1978. — С. 6.

[BSE_Algebra-5] ¹ ² Алгебра // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[MathEnc_Algebra-6] ¹ ² Виноградов И. М. Алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.

[BSE_LAlgebra-7] ¹ ² Линейная алгебра // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[MathEnc_LAlgebra-8] ¹ ² ³ Виноградов И. М. Линейная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.

[MathEnc_AAlgebra-9] ¹ ² ³ Виноградов И. М. Общая алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.

[10] Алгебра — статья из Математической энциклопедии

[MathEnc_UAlgebra-11] Виноградов И. М. Универсальная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.

[_6e2c01a81ad723fb-12] История математики, т. I, 1970, с. 29—30.

[_122b7038f5fc6665-13] ¹ ² История математики, т. I, 1970, с. 42.

[_07b6e13d8cb9b263-14] ¹ ² История математики, т. I, 1970, с. 42—46.

[_8827957ba413d0b8-15] История математики, т. I, 1970, с. 78—80.

[_e289b1f583db648b-16] История математики, т. I, 1970, с. 82—86.

[_bc6832cf7c3bf0f6-17] История математики, т. I, 1970, с. 86—87.

[_e3f5fd0d92cadb51-18] История математики, т. I, 1970, с. 144—146.

[_8cc15feab9a0bad2-19] История математики, т. I, 1970, с. 146—150.

[М.Я.Выгодский-20] М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]